Beweis lineare Unabhängigkeit einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe: Sei V ein Vektorraum, φ : V → V eine lineare Abbildung, v ∈ V ein Vektor. Die Folge (v_i) wird definiert durch v₀ = v, v_i+1 = φ(v_i). Angenommen, v₀,v₁,...,v_n sind von 0 verschieden, aber v_n+1 = 0. Zeigen Sie, dass dann {v₀, . . . , v_n} linear unabhängig ist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Angenommen v0,v1,…, vn sind von 0 verschieden, aber v(n+1)=0. Zeigen Sie, dass dann {v0,…,vn} linear unabhängig ist.

Stichworte: vektorraum,lineare-abbildung,unabhängig,gleichungen,linearkombination

Aufgabe:

Sei V ein Vektorraum, ψ: V→V eine lineare Abbildung, v∈V ein Vektor. Die Folge (vi) wird definiert durch v0=v, v(i+1) =ψ(vi). Angenommen v0,v1,…, vn sind von 0 verschieden, aber v(n+1)=0. Zeigen Sie, dass dann {v0,…,vn} linear unabhängig ist.

Anmerkung: das i, n, 0,1 … sind so kleine am Fuß stehende Zeichen.

Answer 1

Hallo :-)

Diese Aussage ist falsch.

Betrachte \(V=\mathbb{R}^2\) und \(v=(1,1)^T\in V\).

Definiere \(\varphi: V\to V, (x,y)^T\mapsto (x,y)^T\). Diese ist linear.

Dann ist zb. die Folge

\(v_0=v=(1,1)^T,\ v_1=\varphi(v_0)=(1,1)^T, \ v_2=\varphi(v_1)=(1,1)^T\)

linear abhängig.