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Aufgabe:

Wir betrachten das System von Vektoren X = (sin, cos, sin · cos,sin2, cos2), den davon erzeugten Untervektorraum V := ⟨X⟩ ⊆ Abb(ℝ, ℝ) und den Endomorphismus ∂ : V → V, f → f´, wobei f´ die erste Ableitung von f bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass X eine Basis von V ist.
b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix A∂,X,X.
c) Geben Sie eine Basis von ker ∂ bzw. im ∂ an.

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a) Zeige, dass die Erzeugenden lin. unabh. sind, also aus

a·sin+b·cos+c·sin · cos+d·sin^2 + e·cos 2 = 0 (0-Funktion) 

folgt a=b=c=d=e=0.

Also für alle x∈ℝ gilt

a·sin(x)+b·cos(x)+c·sin(x) · cos(x)+d·sin(x)^2 + e·cos(x)^2 = 0

Für a=b=c=d=e=0  setzt du am besten für x ein paar

geeignete Werte ein, denn das gilt ja für alle x.

Erst mal x=0, dann hast du

       b          +   e = 0

Dann vielleicht x=pi/2 das gibt

     a + d    = 0

x=pi gibt z.B.

  -b  + e = 0     etc.

Die erste und die 3. Gleichung liefern schon mal b=e=0

und entsprechend kannst du a=b=c=d=e=0 zeigen.

von 243 k 🚀

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