Hallo:-)
Deine Rechenwege sind keine Beweise. (a), (b) , (c) und (e) sind wahr. (d) ist falsch.
Ich schreibe mal die ,,übliche" Landau-Definition für groß-O hin:
O(g) : ={f : N→R : ∃α>0 ∃n0∈N ∀n≥n0 : 0≤f(n) ∧f(n)≤α⋅g(n)0≤f(n)≤α⋅g(n)}
Du musst also eine Konstante α>0 und eine Stelle n0∈N finden, sodass für alle n≥n0 die Ungleichung 0≤f(n)≤α⋅g(n) gilt.
Nebenbei bemerkt ist die Schreibweise f=O(g) absolut falsch. O(g) ist eine Menge! Sie beschreibt doch, die Menge aller Funktionen f : N→R, die bis auf eine Konstante höchstens so schnell wie g wachsen. Die Schreibweise f∈O(g) ist von daher korrekt.
Ich führe mal den Beweis für die Definition bei (a) vor:
Es ist n2+2n+1∈O(n2) zu zeigen. Dabei ist f(n)=n2+2n+1 und g(n)=n2.
Ich suche also eine Konstante α>0 und eine Stelle n0∈N, sodass für alle n≥n0 die Ungleichung 0≤=f(n)n2+2n+1≤α⋅=g(n)n2 gilt.
Entweder man sieht bereits, welche Konstante α>0 und Stelle n0∈N zu verwenden sind, denn dann kannst du mit Induktion die Ungleichung zeigen. Oder man bekommt diese durch geschicktes Abschätzen mitgeliefert. Ich wähle letzteres:
≤n≥2n2+2n+1n2+n2+1≤n≥2n2+n2+n2=3⋅n2
Also wähle ich α=3 und n0=2. Damit ist n2+2n+1∈O(n2).