Welcher PUNKT auf der roten Gerade ist der blauen Gerade am nächsten?

Question

Hallo, bräuchte dringends Hilfe...

Die Aufgabe lautet: Welcher PUNKT auf der roten Gerade ist der blauen Gerade am nächsten?

Rote Gerade: (4|0|0) + s × (0|4|0)

Blaue Gerade: (2|2|6) + t × (-2|2|-6)

Lösung ist wohl angeblich: G (2|1,6|0)

Aber wie kommt man bitte auf diese Lösung??? Help

Danke im Voraus

Answer 1

Die Strecke vom Punkt der roten Gerade zum Punkt auf der blauen Geraden ist orthogonal zu beiden Geraden.

Orthogonalität prüft man mit dem Skalarpodukt. Also

\(\left(\left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\\-6\end{pmatrix}\right)\right)\cdot \begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix} = 0\)

\(\left(\left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix} +s\cdot\begin{pmatrix}0\\4\\0\end{pmatrix}\right)-\left(\begin{pmatrix}2\\2\\8\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\\-6\end{pmatrix}\right)\right)\cdot\begin{pmatrix}-2\\2\\-6\end{pmatrix}  = 0\)

Answer 2

Lösung ist wohl angeblich: G (2|1,6|0)

Da G kein Punkt der roten Geraden ist kann das denke ich nicht sein. Also ist entweder die rote Gerade verkehrt oder die Lösung.

Der Verbindungsgerade verläuft senkrecht zu den beiden Geraden. Damit kann man den Richtungsvektor der Verbindung über das Kreuzprodukt der Richtungsvektoren der Geraden berechnen.

[0, 4, 0] ⨯ [-2, 2, -6] = - 8·[3, 0, -1]

[4, 0, 0] + r·[0, 4, 0] + s·[3, 0, -1] = [2, 2, 6] + t·[-2, 2, -6] --> r = 0.9 ∧ s = -1.2 ∧ t = 0.8

R = [4, 0, 0] - 0.9·[0, 4, 0] = [4, -3.6, 0]

Comments

Wenn ich richtig gerechnet habe, ist die Distanz von diesem Punkt zur blauen Geraden etwa viermal so groß wie bei meiner Lösung?

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Danke. Ich hatte für die Gerade einen verkehrten Richtungsvektor. Jetzt sollte das stimmen.

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Wenn ich richtig gerechnet habe, ist die Distanz vom neuen Punkt zur blauen Geraden ca. 7.8 und bei meiner Lösung ca. 3.8

Du kommst auf die Lösung r = 0.9 und rechnest dann aber -0.9*4

Answer 3

Mein Rechenknecht kommt auf einen minimalen Abstand bei den Punkten mit diesen Parameterwerten: