Partielle Integration mit ln(x)

Question

Folgende Aufgabe soll partiell integriert werden:

Text erkannt:

$\int x \cdot(1+\ln x) d x$

Mein Ergebnis weicht jedoch von der Musterlösung ab:

Musterlösung:

x² (2 · ln(x) + 1) / 4 + C

Wo liegt der Fehler?

Answer 1

Hallo,

∫ x/2 dx= x²/4 +C

dann wird alles gut , davor das stimmt alles.

Comments

Woher kommt die 4?

Und die Musterlösung ist doch immer noch unterschiedlich?

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∫ x/2 dx= 1/2 ∫ x dx=1/2 *x²/2 +C = x²/4+C

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Du teilst beim Integrieren durch den neuen Exponenten:

y = x/2 = 1/2 * x

Y = 1/2 * 1/2 * x² = 1/4 * x²

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Und die Musterlösung ist doch immer noch unterschiedlich?

nein

Answer 2

$\int x \cdot(1+\ln x) d x$

u´=x   u=$\frac{x^2}{2}$

v=1+ln(x)    v´=$\frac{1}{x}$

$\int x \cdot(1+\ln x) d x$=$\frac{x^2}{2}$*(1+ln(x))-$\int\limits_{}^{}$$\frac{x^2}{2}$*$\frac{1}{x}$*dx=

=$\frac{x^2}{2}$*(1+ln(x)) - $\int\limits_{}^{}$$\frac{x}{2}$*dx=

=$\frac{x^2}{2}$*(1+ln(x)) - $\frac{x^2}{4}$ +C=

=  $\frac{x^2}{2}$+$\frac{x^2}{2}$*lnx - $\frac{x^2}{4}$ +C

=  $\frac{x^2}{4}$+$\frac{x^2}{2}$*lnx +C

Answer 3

∫ x·(1 + LN(x)) dx

= 1/2·x²·(1 + LN(x)) - ∫ 1/2·x²·1/x dx

= 1/2·x²·(1 + LN(x)) - ∫ 1/2·x dx

= 1/2·x²·(1 + LN(x)) - 1/4·x² + C

Das sollte in etwa der Musterlösung entsprechen.