Beweisen Sie, dass es eine Folge {qn} rationaler Zahlen gibt, die gegen α konvergiert.

Question

Aufgabe:

(a) Es sei α eine beliebige reelle Zahl. Be

weisen Sie, dass es eine Folge {qn} rationaler
Zahlen gibt, die gegen α konvergiert.
(b) M sei eine nichtleere, nach oben beschränkte Menge reeller Zahlen. Beweisen Sie
dass es eine Folge {mn} von Zahlen in M gibt, die gegen sup M konvergiert. (Die
Folge {mn} heißt maximierende Folge für M.)
Formulieren Sie ein entsprechendes Ergebnis für minimierende Folgen

Problem/Ansatz:

Weiß leider nicht wie ich hier vorgehen soll.

LG

Answer 1

(a) Sei \( a\in \mathbb{R} \) eine beliebige reelle Zahl. Wir definieren
\( r_{n} \in\left(a-\frac{1}{n}, a+\frac{1}{n}\right), \quad r_{n} \in \mathbb{Q} \)
Jedes \( r_{n} \) existiert aufgrund der Dichte von \( \mathbb{Q} \) in \( \mathbb{R} \).
(b) Sei \( s=\sup M \). Wenn \( s \in M \), so gibt es nichts zu zeigen (konstante Folge). Ansonsten definieren wir die Folge wie folgt:
\( m_{n} \in\left(s-\frac{1}{n}, s\right), \quad m \in M \)
Ein solches \( m_{n} \) existiert immer, denn würde es nicht existieren, so wäre damit die Supremumseigenschaft von \( s \) verletzt.