Beweis von Markov Eigenschaft für Ereignisse erklären

Question

A₁, A₂ und A₃ sind Teilmengen.

Nach der Aussage der Markov Eigenschaft für Ereignisse sind A₁ und A₃ bedingt unabhängig unter der Bedingung A₂ genau dann, wenn 

ℙ(A₃ Ι A₁ ∩ A₂) = ℙ (A₃ Ι A₂₎

Beweis:

ℙ(A₃ Ι A₁ ∩ A₂) = ℙ (A₃∩ A₁ ∩ A₂)  / ℙ (A₁ ∩ A₂ )

                           = ℙ(A₃ ∩ A₁ Ι A₂) × ℙ (A₂) / ℙ (A₁ ∩ A₂ )

                           = ℙ (A₃ Ι A₂) × ℙ (A₁ Ι A₂ ) × ℙ (A₂) / ℙ (A₁ ∩ A₂ )

                           = ℙ (A₃ Ι A₂) × (ℙ (A₁ ∩ A₂ ) / ℙ (A₂) ) ×  ( ℙ (A₂) / ℙ (A₁ ∩ A₂ ) )

                           = ℙ (A₃ Ι A₂) 

Demnach wäre es bewiesen. Mir sind manche Schritte bewusst, indem zum Beispiel im ersten Gleichheitszeichen der Satz der bedingten Wahrscheinlichkeit angewandt wurde. Das zweite Gleichheitszeichen bereitet mir Probleme. Beim dritten Gleichheitszeichen wird die Formel der bedingten Unabhängigkeit angewandt, das vierte bereitet mir hingegen wieder Probleme. 

 

Es wäre also toll, wenn jemand nur erklären könnte wie ich diese Gleichungen herleite, da ich genau diesen Beweis in einer mündlichen Prüfung vorstellen will. 

 

                         

Answer 1

Es gilt nach dem Multiplikationssatz

P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)

Der wunde hier benutzt. Versuche das mal nachzuvollziehen.

Comments

Super Dankeschön. Da stand ich einfach auf dem Schlauch.. 

Jetzt fehlt mir nur noch das vorletzte Gleichheitszeichen. In unserer Vorlesung stand plötzlich ℙ (A₃ Ι A₂) isoliert vom Bruchstrich. Und  die Brüche ℙ (A₁ ∩ A₂ ) / ℙ (A₂) )  und ( ℙ (A₂) / ℙ (A₁ ∩ A2 ) standen ebenfalls plötzlich als eigene Brüche in der Gleichung. 

Der erste Bruch bildete sich dabei wieder anhand des Satzes für die bedingte Wahrscheinlichkeit. Kann ich den gesamten Bruchstrich denn einfach so auflösen?

---

Löse doch den Multiplikationssatz anders auf

P(A ∩ B) = P(A) * P(B | A)

P(A) * P(B | A) = P(A ∩ B)

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)