Berechnung eines Vierecks

Question

hier die Aufgabe:

Beim Neubau einer Bahnstrecke wird eine Ausgleichsfläche aufgeforstet.

a) Wie groß ist der Flächeninhalt des Vierecks ABCD auf Ar gerundet?

b) Wie lang ist der Weg durch das Waldstück?

Hier die Werte und eine ungefähre Zeichnung:

Answer 1

a)

Zerlege das Viereck ABCD in 2 Dreiecke ACD und ABC.

A = A_ACD + A_ABC

A_ACD = 1/2 * CD*DA = 1/2*(195,7m+65,7m)*168,1m = 21970,67 m^2

A_ABC = 1/2*AC*h_AC

AC = √(CD² + DA²) =  √((195,7m+65,7m)² + (168,1m)²) = 310,79 m

h_AC = sin (CAE) *AB

CAE = DAE - CAD

DAE = 116,5°

CAD = arcsin (CD/AC) = arcsin ((195,7m+65,7m)/310,79m) =57,25°

CAE = 116,5° - 57,25° = 59,25°

h_AC = sin (CAE) *AB = sin (59,25°) * (60,6m+182,5m) = 208,91 m

A_ABC = 1/2*AC*h_AC  = 1/2 * 310,79 m * 208,91 m = 32463,83 m^2

A = 21970,67 m^2 + 32463,83 m^2 = 54434,5 m^2 = 544,34 Ar ≈ 544 Ar

 

b) Einheit ist immer m,  daher weggelassen

ED = √(DA² + AE² - 2*DA*AE*cos DAE )               (Kosinussatz für Dreieck DAE)

ED = √(168,1² + 60,6² - 2*168,1*60,6*cos 116,5° ) = 202,54

sin EDA = (AE * sin DAE) / ED                                 (Sinussatz für Dreieck DAE)

EDA = arcsin [(AE * sin DAE) / ED]

EDA = arcsin [60,6*sin 116,5°/202,54] = 15,53°

FDE = FDA - EDA  = 90° - 15,53° = 74,47°

EF = √(FD² + ED² - 2*FD*ED*cos FDE )               (Kosinussatz für Dreieck FDE)

EF = √(195,7² + 202,54² - 2*195,7*202,54*cos 74,47°)

EF = 241,03

Der Weg durch den Wald ist also 241m lang.