Wie kann man diese Funktion zweimal ableiten?

Question

Aufgabe:

$f(x)=(x-5) \cdot \sqrt{x}$

Problem/Ansatz:

Wie kann man diese Funktion 2 mal ableiten?

Answer 1

Mit der Produktregel also gemäß  (u*v) ' = u'*v + u*v'

hier also $f(x)=(x-5) \cdot \sqrt{x}$

==> $f ' (x)=1 \cdot \sqrt{x} + (x-5) \cdot \frac{1}{ 2\sqrt{x}} =\frac{3x-5}{ 2\sqrt{x}}$

und jetzt mit der Quotientenregel

(Nenner * Abl. vom Zähler - Zähler mal Abl. vom Nenner) durch Nenner ²

==> $f '' (x)=\frac{ 2\sqrt{x} \cdot 3 - (3x-5) \cdot \frac {2}{2\sqrt{x}}}{ (2\sqrt{x})^2} = \frac{3x+5}{4x^{1,5}}$

Comments

Vielen Dank!

wie wurde die zweite Ableitung so schön vereinfacht?

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$f '' (x)=\frac{ 2\sqrt{x} \cdot 3 - (3x-5) \cdot \frac {2}{2\sqrt{x}}}{ (2\sqrt{x})^2} =\frac{ 2\sqrt{x} \cdot 3 - (3x-5) \cdot \frac {1}{\sqrt{x}}}{ 4x}$

Mit √x erweitern gibt $=\frac{ 2x \cdot 3 - (3x-5) \cdot 1}{ 4x\sqrt{x}}= \frac{3x+5}{4x^{1,5}}$

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Dankeschön!

:)

Answer 2

f(x) = x^(3/2) -5*x^(1/2)

f '(x) = 3/2*x^(1/2) - 5/2*x^(-1/2)

f ''(x) = 3/4*x^(-1/2) +5/4+x^(-3/2)