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Aufgabe:


Für reelle Zahlen \( a, b \) mit \( 0<a<b \) sei \( A_{a, b}:=\left\{\left(x_{1}, x_{2}\right) \in \mathbb{R}^{2}: x_{1} \leq 0, x_{2} \geq 0, a^{2} \leq x_{1}^{2}+x_{2}^{2} \leq b^{2}\right\} \). Zudem sei die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) definiert durch
\( f\left(x_{1}, x_{2}\right):=3 \sqrt{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} . \)
Begründen Sie, dass das R-Integral
\( \int \limits_{A_{a, b}} f\left(x_{1}, x_{2}\right) d\left(x_{1}, x_{2}\right) \)
existiert und berechnen Sie dieses mithilfe des Transformationssatzes (vgl. Theorem 1.15.15).

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Aloha :)

Wir sollen das Integral der Funktion$$f(x;y)=3\sqrt{x^2+y^2}$$über der Punktmenge$$A=\left\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x\le0\,;\,y\ge0\,;\,a^2\le x^2+y^2\le b^2\right\}\quad;\quad 0<a<b$$bestimmen. Da \(f(x;y)\) über der Punktmenge \(A\) stetig ist, existiert das R-Integral. Zur Berechnung benötigen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der die Punktmenge \(A\) abtastet. \(A\) ist ein Kreissegment im zweiten Quadranten \(\varphi\in\left[\frac\pi2;\pi\right]\) mit einem Radius \(r\in[a;b]\). Daher drängen sich Polarkoordinaten auf:$$\vec r(r,\varphi)=\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad\varphi\in\left[\frac\pi2;\pi\right]\quad;\quad r\in[a;b]$$Beim Übergang von kartesischen Koordinaten \((x;y)\) zu Polarkoordinaten \((r;\varphi)\) wird das Flächenelement verzerrt. Über den Faktor gibt die Fuktionaldeterminate Auskunft:

$$\frac{dx\,dy}{dr\,d\varphi}=\left|\begin{array}{rr}\frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial\varphi}\\[1ex]\frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial\varphi}\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rr}\cos\varphi & -r\sin\varphi\\\sin\varphi & r\cos\varphi\end{array}\right|=r\cos^2\varphi+r\sin^2\varphi=r$$Damit ist also \(dx\,dy=r\,dr\,d\varphi\) und \(f(r,\varphi)=3r\), sodass wir das gesuchte Integral wie folgt formulieren können:$$I=\int\limits_Af(x;y)\,d(x;y)=\int\limits_{r=a}^b\;\,\int\limits_{\varphi=\frac\pi2}^\pi3r\,r\,dr\,d\varphi=\int\limits_{r=a}^b3r^2\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=\frac\pi2}^\pi d\varphi=\left[r^3\right]_{r=a}^b\cdot\left[\varphi\right]_{\varphi=\frac\pi2}^\pi$$$$\phantom{I}=(b^3-a^3)\cdot\left(\pi-\frac\pi2\right)=\frac\pi2(b^3-a^3)$$

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