Aloha :)
Das gilt z.B. für alle Funktionen, die punktsymmetrisch zum Ursprung sind, für die gilt nämlich:$$f(-x)=-f(x)$$Das sind etwa alle Polynome, die nur ungerade Exponenten haben. Für solche punktsymmetrischen Funktionen gilt immer:
$$\int\limits_{-a}^af(x)dx=\int\limits_{-a}^0f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_a^0f(-x)d(-x)+\int\limits_0^af(x)dx$$$$\phantom{\int\limits_{-a}^af(x)dx}=\int\limits_a^0-f(-x)dx+\int\limits_0^af(x)dx=\int\limits_a^0f(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx$$$$\phantom{\int\limits_{-a}^af(x)dx}=-\int\limits_0^af(x)dx+\int\limits_0^af(x)dx=0$$
Wichtig ist natürlich, dass die Funktion im Intervall \([-a|a]\) integrierbar ist. Beim Beispiel von döschwo ist das nicht gegeben, obwohl die Funktion punktsymmetrisch ist.
Hier musst du noch besonders aufpassen. Deine Forderung ist ja, dass die Funktion nirgends \(0\) ist. Da kannst du folgendes Beispiel für angeben:
$$f(x)=\left\{\begin{array}{rl}+1&\text{für }0\le x\le17\\-1&\text{für }-17\le x<0\end{array}\right.$$
