Würde diese beiden Funktionen gerne gleichsetzen und auflösen, welche Rechenschritte sind notwendig?

Question

Aufgabe:

E-Funktion auflösen

Problem/Ansatz:

f(x) = 1/2e^(1/2x)

g(x) = e^(1-1/4x)

Würde diese beiden Funktionen gerne gleichsetzen und Auflösen, welche Rechenschritte sind notwendig?

Answer 1

Würde diese beiden Funktionen gerne gleichsetzen

Setze sie gleich. Nimm dann beide Seiten hoch 4.

Comments

Wie sieht das dann genau aus?

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Das sieht dann genau so aus:

\(0,5^4 ·(e^{0,5x})^4=e^{(1-0,25x)·4}\)

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Alles klar, habe nun die korrekte Lösung am Ende erhalten, aber noch zwei Fragen.

1. Wenn ich die gesamte Gleichung hoch 4 nehme, welchen Rechenschritt kann ich mir dann an die Seite schreiben? Meine, dass man x^4 schreiben, wobei man hier ja nicht nur die Variable X hoch 4 nimmt, sondern die ganze Gleichung. Wie schreibe ich das auf?

2. Nachdem ich die gesamte Gleichung mit 4 Potenziert habe, steht vor mir die ebenso von dir dargestellte Gleichung:

1/16 * (e^2x) = e^(4-x)

Ich bin dann letzen Endes darauf gekommen, dass ( 1/16 = e^(4-3x) herauskommen muss, damit das Ergebnis stimmt. Aber wieso ist das so? Ich meine, zwischen den 1/16 und den (e^2x) findet eine Multiplikation statt, also sollte man doch eigentlich durch (e^2x) teilen, wobei dann etwas anderes herauskommen müsste, oder greift da irgend ein Rechengesetz? Habe jetzt quasi (-x-2x) gerechnet.

Answer 2

Vielleicht hilft das schon:

\(  \frac{1}{2} \cdot e^{ \frac{1}{2} \cdot x} = e^{ 1-\frac{1}{4} \cdot x}\)

Durch e^(x/2) dividieren

\(  \frac{1}{2}  = e^{ 1-\frac{1}{4} \cdot x-\frac{1}{2} \cdot x }\)

Answer 3

Du kannst auch den Logarithmus \(\ln\) auf beide Seiten

anwenden .... und dann gleichsetzen:

\(1/2\cdot x - \ln(2)=1-1/4\cdot x\)

Comments

Oder zuerst gleichsetzen, und dann logarithmieren?

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Das ist in der Tat egal ;-)

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Bei den Bananen ist es nicht egal: Zuerst schälen, dann essen. Andersrum wäre ungut.

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Oh, das habe ich bisher immer falsch gemacht ;-)

Danke für das Foto: ich vergesse manchmal, wie eine Banane

aussieht. Nun bin ich wieder voll im Bilde.

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Dativ-E, alte Schule !

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In Ermangelung des deutschen Ablativs.

Answer 4

0,5=\( e^{0,5x} \)*\( e^{1-0,25x} \) |*2

\( 1=2 \cdot e^{0,5 x} \cdot e^{1-0,25 x}=2 \cdot e^{0,5 x} \cdot e \cdot e^{-0,25 x}=2 \cdot e \cdot \frac{e^{0,5 x}}{e^{0,25 x}}=2 \cdot e \cdot e^{0,25 x} \)

\( e^{0,25 x}=\frac{1}{2 e} \mid \ln \)
\( 0,25 x=\ln \left(\frac{1}{2 e}\right) \mid: 0,25 \)
\( x=4 \cdot \ln \left(\frac{1}{2 e}\right) \approx-6,77 \)

Comments

Lern doch endlich mal, was ln e ist. Dann kannst du auch \(\ln \left(\frac{1}{2 e}\right)  \) vernünftig notieren.

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Ich weiß, dass ln e=1 ist. Aber \(\ln \left(\frac{1}{2 e}\right)  \) ist mir nicht geläufig.

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Ich würde es als -1 - ln 2 schreiben.

Da bin ich drauf gekommen, als ich unter der Palme saß und eine Banane aß. Eine Kokosnuss fiel mir dabei auf den Kopf und löste den Geistesblitz aus.