Sei n ∈ ℕ , v1,v2 ∈ ℝn , v2 ≠ 0 und λ,μ ∈ ℝ | Beweis

Question

Sei n ∈ ℕ , v1,v2 ∈ ℝⁿ , v2 ≠ 0  und λ,μ ∈ ℝ.

Nun Soll ich zeigen, dass v1 ∉ ℝv2 genau dann wenn aus λv1 + μv2 = 0, λ = μ = 0 folgt.

Die Aufgabe ist zu Kompliziert gestellt. wie genau fange ich jetzt hier an das zu zeigen, mir fehlt der Ansatz dazu.

Answer 1

Dies ist nur eine möglichst undurchschaubare Darstellung von:

"Zwei Vektoren erzeugen genau dann denselben Unterraum, wenn sie

linear abhängig sind" oder

"Zwei Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn einer von ihnen

ein skalares Vielfaches des anderen ist".

Äquivalent zur zu beweisenden Aussage ist die kontrapositive Variante:

$v_1\in \mathbb{R}v_2 \iff \exists \lambda,\mu \text{ nicht beide}=0\text{ mit } \lambda v_1+\mu v_2=0$

"$\Rightarrow$":

Sei $v_1\in \mathbb{R}v_2$ Dann bedeutet das, dass es ein $c\in \mathbb{R}$ gibt, so dass

$v_1=cv_2$, also $v_1-cv_2=0$. Nimm also $\lambda=1, \; \mu=-c$. dann gilt $\lambda v_1+\mu v_2=0$,

wobei $\lambda$ und $\mu$ nicht beide =0 sind.

"$\Leftarrow$":

Es gebe $\lambda,\mu$, nicht beide=0, so dass $\lambda v_1+\mu v_2=0$ ist. Wäre $\mu=0$,

so wäre wegen $\lambda v_1=-\mu v_2$ auch $\lambda =0$.

Daher haben wir $v_1=-\frac{\lambda}{\mu} v_2$, also $v_1\in \mathbb{R} v_2$.

Comments

hmm okay, aber den text verstehe ich auch nicht zu 100%, was ist genau mit " denselben Unterraum"  bzw. "skalares Vielfaches" gemeint?

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bzw. wie zeige ich das genau, also einmal , dass sie linear anhängig sind, und ich soll zeigen das v1 und v2 ein skalares vielfaches voneinander sind?

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Habe die Originalaussage in ihre kontrapositive Form gebracht, da sie

so viel angenehmer zu beweisen ist. Beweis wird demnächst nachgeliefert ...

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okay, so ist das schonmal besser zu verstehen, dankesehr

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hab den beweis nicht hinbekommen...

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OK. Habe den Beweis oben nachgereicht.

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ok Danke sehr, sieht etwas kompliziert aus, ich versuche das zu verstehen,

die variable c haben sie so genommen oder? oder ist diese vordefiniert?

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und warum ist bei der ersten richtung  μ = -c und λ = 1 ? das hab ich nicht genau verstanden

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und außerdem ich soll ja zeigen, dass v1 kein Element von  ℝv2 ist, das haben sie aber doch nicht gemacht im ersten schritt oder? Da steh ja "sei v1 Element aus Rv2"

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achso sie haben das so herum geschrieben um das beim ersten schritt zu wiederlegen

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Kontraposition bedeutet:

$A\Rightarrow B$ ist äquivalent zu $\lnot B\Rightarrow \lnot A$.

Insgesamt ergibt sich so

$A\iff B$ ist äquivalent zu $\lnot A\iff \lnot B$.

Das sind Grundtatsachen der Logik ;-)

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ja tut mir leid, war nicht daran gewöhnt das so zu sehen, habe es jetzt verstanden, danke!

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Wenn $v_1\in \mathbb{R}v_2$ ist, dann muss es doch eine reelle

Zahl - ich nenne sie mal $c$  - geben, so dass $v_1=c v_2$ ist.

Wenn ich habe $1\cdot v_1+(-c)\cdot v_2=0$, dann ist das doch dasselbe

wie $\lambda v_1+\mu v_2=0$ für $\lambda = 1, \; \mu=-c$.

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ja hab es im nachhinein verstanden, Danke Sehr.

ich konnte mir das auf den ersten blick nicht erschließen