Bilden des Induktionsanfangs?

Question

Aufgabe: Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion

Text erkannt:

b) $\sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad n \in \mathbb{N}^{+}, q \in \mathbb{R} \backslash\{1\}$

Problem/Ansatz:

Wie mache ich bei dieser Aufgabe den Induktionsanfang ? Ich IN+ ist ohne die 0.

Answer 1

Wie wäre es für n= 1 mit$\sum\limits_{k=0}^{1}{q^k}$?

Comments

also q^k=q⁰=1?  

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Nein. q⁰+q¹.

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Wie mache ich bei dieser Aufgabe den Induktionsanfang ? Ich IN+ ist ohne die 0.

es ist (fast) egal, mit welchem Wert für $n$ Du den Induktionsanfang machst. Du kannst auch $n=5$ nehmen; nur dann zählt der Beweis nicht für Werte von $n=4$ und kleiner! Man nimmt i.A. den kleinsten Wert für $n$, der noch Sinn macht.

Und da hier $n \in \mathbb N^+$ vorgeben ist, ist das kleinste Element dieser Menge die $1$, also beginnt man mit $n=1$. Da die Summe mit dem Index $k=0$ beginnt, hat die erste Summe zwei Summanden.

Der Induktionsschritt für $n=1$ sieht dann so aus, wenn man es ganz ausführlich hin schreibt:$$\begin{aligned} \sum\limits_{k=0}^{1} q^k &= q^{k=0} + q^{k=1} \\&= 1+q \\&= \frac{1+q}{1} \\&= \frac{(1+q)(1-q)}{1-q} \\ &= \frac{1-q^2}{1-q}\\&= \frac{1-q^{1+1}}{1-q} \space \checkmark \end{aligned}$$Damit ist gezeigt, dass die Gleichung $$\sum\limits_{k=0}^{n} q^k = \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$für den Wert $n=1$ korrekt ist.

Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner