Basis eines Unterraums mit der Dimension

Question

Aufgabe:

Im Fall dim(V ) > dim(U1 + U2) gibt es eine Basis von V , die kein Element von U1 + U2 enthält.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre jetzt, dass ja U1 + U2 ein Unterraum von V ist, damit kann ich mein zz ändern auf einen beliebigen Unteerraum von V und dann reicht wenn ich eine Basis finde die das zeigt.
Also wenn B z.B. (1,0) (0,1) ist dann muss ich einen Unterraum finden mit Dimension 1 und der nicht (0,1) bzw (1,0) beinhaltet.
Kann ich jetzt sagen der Unterraum hat eine Basis mit (1,1).

Comments

Kennst du folgenden Basisergänzungssatz:

"Jede linear unabhängige Menge lässt sich zu einer Basis

des Raumes ergänzen." ?

Answer 1

(1,1) ist aber in der Summe des von (1,0) und (0,1) erzeugten Unterraumes

enthalten.

Du musst also etwas größer beginnen, etwa in R³.

Wenn du da die Unterräume <(1,0,0)> und <(0,1,0)> nimmst,

dann ist die Summe alles was von der Form (x,y,0) ist.

Und es gibt eine Basis von R³, die (0,0,1) enthält.

Ich denke, dass du das allerdings allgemein zeigen musst.