Zeigen Sie, dass die Menge {x ∈ G : xg = gx} eine Untergruppe von G bildet.

Question

Aufgabe:

Sei G eine Gruppe, g ∈ G. Zeigen Sie, dass die Menge {x ∈ G : xg = gx} eine Untergruppe von G bildet.

Answer 1

Ich nenne die Menge mal \(C(g)\), den Zentralisator von \(g\).

1. \(C(g)\neq \emptyset\); denn \(e\in C(g)\),

wobei \(e\) das neutrale Element von \(G\) ist.

2. \(x \in C(g)\Rightarrow xg=gx\Rightarrow g=x^{-1}gx\Rightarrow gx^{-1}=x^{-1}g\Rightarrow x^{-1}\in C(g)\)

3. \(x,y\in C(g)\Rightarrow x,y^{-1}\in C(g)\Rightarrow \)

\( (xy^{-1})g=x(y^{-1}g)=x(gy^{-1})=(gx)y^{-1})=g(xy^{-1})\),

also \(xy^{-1}\in C(g)\).

Damit ist \(C(g)\) eine Untergruppe von \(G\).