Hochpunkt einer Schar von e-Funktionen und die Ortskurve

Question

Aufgabe:

Hochpunkt einer Schar von e-Funktionen

Problem/Ansatz:

f(x)= x²*e^-a*x                a >0

Als Extremstellen habe x1=0  und x2= 2/a    , was bisher auf richtig ist.

Nun möchte ich die Ortskurve des Hochpunktes bestimmen:

f(2/a)= (2/a)²*e^-a*2/a=  als Lösung bekomme ich = 4/a²*e²   was aber wahrscheinlich nicht stimmt,

weil wenn ich die Ortskurve berechnen möchte nicht g(x)= x²/e² rausbekomme.

Vielleicht kann mir jemand den Lösungsweg zeigen oder hat irgend einen Hinweis, weil ich den Wald vor Bäumen nicht mehr sehen kann.

Lg

Answer 1

Aloha :)

Ich habe deine Ergebnisse nachgerechnet und finde die Hochpunkte bei \(x_H=\frac2a\).

Die zugehörigen \(y\)-Werte sind \(y_H=f(x_H)=\frac{4}{e^2a^2}=\frac{1}{e^2}\cdot\left(\frac2a\right)^2=\frac{1}{e^2}x_H^2\)

Die Hochpunkte liegen also auf der Kurve \(h(x)=\frac{x^2}{e^2}\).

~plot~ x^2*e^(-x) ; x^2*e^(-2x) ; x^2*e^(-3x) ; x^2/e^2 ; {2|4/e^2} ; {1|1/e^2} ; {2/3|4/9/e^2} ; [[-1|3|0|1]] ~plot~

Comments

Vielen Dank für die rasche Antwort. - ich schätze mein Problem liegt mal wieder in der Umformung.