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Aufgabe:Gegeben ist die Funktionsschar ft mit ft(x)=x^3-t^2*x+3 (t E R positiv).

a)Zeigen Sie rechnerisch, dass alle Graphen von ft Punktsymmetrisch zum Punkt P(0/3) verlaufen.

b)Bestimmen Sie die Koordinaten der Hochpunkte von ft sowie die zugehörige Ortskurve.
Problem/Ansatz:Bei der Teilaufgabe a kenne ich nur die Symmetrie zum Ursprung zu einem Punkt jedoch nicht.                           Bei der Teilaufagbe b habe ich den x Wert: -Wurzel darin 1/3 jedoch komme ich hierbei nicht auf den y Wert                           für den Hochpunkt.

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a)

ft(x) = x^3 - t^2*x + 3

ft'(x) = 3*x^2 - t^2

ft''(x) = 6*x = 0 → 0

ft(0) = 3 → WP(0 | 3)

Jedes Polynom 3. Grades ist Punktsymmetrisch zu ihrem Wendepunkt.

b)

ft'(x) = 3*x^2 - t^2 = 0 --> x = -√3/3·t (Hochpunkt) ∨ x = √3/3·t (Tiefpunkt)

ft(-√3/3·t) = 2/9·√3·t^3 + 3 → HP(-√3/3·t | 2/9·√3·t^3 + 3)

Ortskurve

x = -√3/3·t --> t = -√3·x

y = x^3 - (-√3·x)^2*x + 3 = 3 - 2·x^3

Skizze

blob.png

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dankeschön:)

ich habe nur eine Frage wie sind die Sie auf die -Wurzel 3/3 gekommen das habe ich nicht ganz verstanden.

3*x^2 - t^2 = 0

3*x^2 = t^2

x^2 = 1/3 * t^2

x = ± √(1/3) * √(t^2)

x = ± √(3/9) * t

x = ± √3/3 * t

x = ± 1/3 * √3 * t

Du könntest auch √(1/3) stehen lassen. Mathematiker machen den Nenner meist rational.

achsoo okay dankeschön

Ich kann ihren Rechenschritt wirklich nachvollziehen aber mich verwirrt also am Ende soll HP(-tWurzel 1/3//2/3t³*Wurzel 1/3 +3) rauskommen

Das ist doch genau das was ich geschrieben habe. Es gibt immer mehrere Formen das zu notieren. Wie gesagt √(1/3)  kann man auch als 1/3*√3 schreiben.

HP(-√3/3·t | 2/9·√3·t^3 + 3)

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Der Graph jeder Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Wendepunkt.

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Also muss ich das einfach einsetzen ? Oder nicht? Entschuldige habe ich nicht ganz verstanden.  Ich danke dir aber für deine Antwort :)

Also muss ich das einfach einsetzen ?

Du brauchst nur den Wendepunkt ausrechnen und zeigen das dieser bei (0 | 3) liegt.

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Wenn du die Symmetrie zum Ursprung überprüfen kannst führe das doch darauf zurück? Lege den Ursprung des Koordinatensystem also in den Punkt (0,3), dann hat die Funktion bzgl des neuen Koordinatensystems die Vorschrift:

$$ \tilde{f}_t(x) = f_t(x-0) - 3 $$

Zeige jetzt \( \tilde f(-x) = - \tilde f(x) \)

b) $$ f'_t(x) = 3x^2 - t^2 = 0 \iff x = \pm \sqrt{\frac{t^2}{3}} $$

\(f''_t\left( \sqrt{\frac{t^2}{3}} \right) = 6\sqrt{\frac{t^2}{3}} > 0 \) also Minimum

\( f''_t\left( -\sqrt{\frac{t^2}{3}} \right) = - 6\sqrt{\frac{t^2}{3}} < 0 \) also Maximum

Der Hochpunkt liegt also einfach bei \( \left( -\sqrt{\frac{t^2}{3}}, f_t\left(-\sqrt{\frac{t^2}{3}}\right) \right) \)

Um den Term zu berechnen verwende \( f_t(x) = x(x^2 - t^2) + 3 \) und setze dann einfach ein.

Die Ortskurve bestimmst du so:

$$ x = - \sqrt{\frac{t^2}{3}} \stackrel{t>0}{\iff} t = - \sqrt{3} x $$

und das setzt du jetzt einfach in \( f_t(x) \) ein. Die Ortskurve ist also

$$ f_{-\sqrt{3}x}(x) = x^3 - 3x^2 \cdot x + 3 = -2x^3 + 3 $$

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Danke wusste nicht das das mit der Symmetrie zum Ursprung auch klappt

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