Oberflächenformel (Extremalprobleme bei Regentonnen)

Question

Aufgabe:

Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.

a) Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2 m² Material je Regentonne zur
Verfügung stehen?

b) Lösen Sie die Aufgabe allgemein.

Problem/Ansatz:

Ich versteh die Aufgabe wirklich garnicht!!!! Kann sie mir bitte jemand detailliert erklären? So wirklich mit welchen Schritten ihr auf die Lösung gekommen seid. Ich weiß auf jeden Fall, dass ich eine Hauptbedingung, Nebenbedingung etc. angeben soll. Ich weiß halt einfach nicht wie und was die Bedienungen sind. Will es wirklich verstehen!

Answer 1

b) Lösen Sie die Aufgabe allgemein.

Nebenbedingung

O = pi·r^2 + 2·pi·r·h --> h = (O - pi·r^2)/(2·pi·r)

Hauptbedingung

V = pi·r^2·h = pi·r^2·(O - pi·r^2)/(2·pi·r) = r·(O - pi·r^2)/2

V' = (O - 3·pi·r^2)/2 = 0 → r = √(O/(3·pi))

Comments

Jetzt muss doch eigentlich noch h ausgerechnet werden und dazu r in die Gleichung von h in der Nebenbedingung eingesetzt werden. Und eigentlich müssen h und r ja gleich groß sein. Aber irgendwie wenn ich r einsetze entsteht eine Gleichung bei der ich nicht auf die richtige Lösung komme. Kann jemand vielleicht die Schritte, wie man die Gleichung auflöst erklären?

Answer 2

Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese sollen bei gegebenem Materialbedarf maximales Volumen besitzen.
a)Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn 2 m^2 Material je Regentonne zur
Verfügung stehen?

Zielfunktion:     \(V(r,h)=r^2 π h \). soll maximal werden.

Oberfläche =Grundfläche+Mantel       G=r^2 π     M=2r π h

\( 2=r^2π+2r π h\). Auflösen nach h:

\(h= \frac{2-r^2π }{ 2r π } \) Einsetzen in die Zielfunktion:

\(V(r)=r^2 π  \frac{2-r^2π }{ 2r π } =\frac{2r-r^3π}{2} = r-0,5r^3 π\)

\(V'(r)  =1-1,5r^2 π\)

\(1-1,5r^2 π=0\)

\(r=\sqrt{\frac{2}{3π}}\)  Nun noch die Höhe  berechnen.

Comments

Du unterstellst ein zylinderförmiges Regenfass.

Fässer können auch fassförmig sein.