Aufgabe:
Prädiktor-Korrektor-Verfahren im Einschrittfall.
Gegeben sei das Anfangswertproblem \( y^{\prime}=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0} \). Wir verwenden das Prädiktor-Korrektor-Verfahren basierend auf dem Einschritt-Adams-Bashforth-Verfahren (explizites Euler-Verfahren) als Prädiktor und dem Einschritt-Adams-Moulton-Verfahren (Trapezregel) als Korrektor.
Geben Sie die Formeln für die Näherungen \( y_{1} \approx y\left(x_{0}+h\right) \) in den Fällen \( \mathrm{P}(\mathrm{EC}) \mathrm{E} \) (nur ein Iterationsschritt) und P(EC)(EC)E (zwei Iterationsschritte) an. Zeigen Sie, dass die Näherungen jeweils einem expliziten Runge-Kutta-Verfahren entsprechen und stellen Sie die zugehörigen Butcher-Tableaus auf. Bestimmen Sie die Konsistenzordnung dieser Runge-Kutta-Verfahren.
Algorithmus: \( \quad \mathbf{P}(\mathbf{E} \mathbf{C})^{m} \mathbf{E} \) Verfahren
\( \mathbf{P}: \quad y_{i+1}^{(0)}:=y_{i}+h\left(\beta_{1} f_{i}+\beta_{2} f_{i-1}+\cdots+\beta_{k} f_{i-k+1}\right) \quad \) (Adams-Bashforth)
für \( \nu=0,1, \ldots, m-1 \)
\( \mathbf{E}: \quad f_{i+1}^{(\nu)}:=f\left(x_{i+1}, y_{i+1}^{(\nu)}\right) \)
C: \( \quad y_{i+1}^{(\nu+1)}:=y_{i}+h\left(\beta_{0}^{*} f_{i+1}^{(\nu)}+\beta_{1}^{*} f_{i}+\beta_{2}^{*} f_{i-1}+\cdots+\beta_{k}^{*} f_{i-k+1}\right) \)
(Fixpunktiteration für Adams-Moulton)
\( \mathbf{E}: \quad f_{i+1}:=f\left(x_{i+1}, y_{i+1}^{(m)}\right) \)
(Auswertung für nächsten Integrationsschritt)
Tabelle : Algorithmus des Prädiktor-Korrektor-Verfahrens für einen Integrationsschritt.
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte unbedingt dabei helfen? Ich muss das morgen abgeben..
Danke im Voraus!
