Aloha :)
Das Integral kannst du nach einer kleinen Umformung auf das wichtige Standard-Integral$$\int\frac{f'(x)}{f(x)}dx=\ln\left|f(x)\right|+\text{const}$$zurückführen, weil nämlich \((\ln(x))'=\frac{1}{x}\) ist:
$$\int\frac{1}{x\ln(x)}dx=\int\frac{1/x}{\ln(x)}dx=\ln\left|\ln(x)\right|+\text{const}$$
Das Ding fliegt dir aber bei beiden Integrationsgrenzen um die Ohren, es konvergiert weder für \(x\to\infty\) noch für \(x\to1\).
