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Aufgabe:

Gegeben sind ein Untervektorraum \( U \) eines \( \mathbb{K} \) Vektorraums \( V \) und Elemente \( \boldsymbol{u}, \boldsymbol{w} \in V \). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
(a) Sind \( \boldsymbol{u} \) und \( \boldsymbol{w} \) nicht in \( U \), so ist auch \( \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} \) nicht in \( U \).
(b) Sind \( \boldsymbol{u} \) und \( \boldsymbol{w} \) nicht in \( U \), so ist \( \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} \) in \( U \).
(c) Ist \( \boldsymbol{u} \) in \( U \), nicht aber \( \boldsymbol{w} \), so ist \( \boldsymbol{u}+\boldsymbol{w} \) nicht in \( U \).


Problem/Ansatz:

a) und b) sollen flasch sein und c) richtig, kann mir jemand erklären wieso? Sehe den Unterschied zwischen a und c nicht?

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4 Antworten

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Ich nehme mal das Beispiel und nehme keine Vektorräume sondern Zahlenmengen. Stell dir also mal vor wie haben die Menge U der ganzen Zahlen als Teilmenge der reellen Zahlen V.

Vielleicht kannst du dir das jetzt besser vorstellen.

Sind u und w nicht in U, so ist auch u + w nicht in U.

Wie ist das mit u = w = 0.5. Sowohl u als auch w sind keine ganzen Zahlen aber u + w ist eine ganze Zahl. Die Aussage ist also falsch.

Sind u und w nicht in U, so ist u + w in U.

Wie ist das mit u = w = 0.1. Sowohl u als auch w sind keine ganzen Zahlen und auch u + w ist keine ganze Zahl. Die Aussage ist also falsch.

Ist u in U, nicht aber w, so ist u + w nicht in U.

Ist u also eine ganze Zahl und w keine ganze Zahl. Dann ist die Summe u + w ebenso keine ganze Zahl. Die Aussage ist also richtig.

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Hallo.

Hier sind die beiden Aussagen i.A. falsch. Hier ein Gegenbeispiel:

Wir nehmen V := |R^2 und den linearen Unterraum U := Lin(1,0) = {(x,0)^T : x ∈ |R}.

(Das ist die x-Achse)

a) Hierfür sind u := (1,1)^T und w := (2,-1)^T nicht in U, aber die Summe u+w = (3,0)^T ist in U.

b) Muss im Allgemeinen auch nicht stimmen. Beispiel: u := (1,1)^T =: w ist nicht in U, so ist die Summe nicht in U = Lin(1,0).

c) Das ist richtig. Wenn schon ein Element nicht in dem Raum liegt, so kann es die Summe inklusive dieses Elements auch nicht. Überlege mal warum.

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Du schreibst mal wieder Unsinn. Bin auf Deine Ausrede gespannt.

Was soll daran Unsinn sein?! Dann korrigiere mein angeblichen Fehler doch bitte mal

Das finde ich jetzt unverschämt. Du schreibst Unsinn, ich moniere das, Du korrigierst und gibst hier das Unschuldslamm

Das Beispiel von c), was bis gerade noch da stand, war Unsinn, das weißt Du genau. Finde ich auch unverschämt. Bitte den Rat "Da musst du mal überlegen." selbst auf sich anwenden.

Es steht auch weiterhin Unsinn da.

Ja bei c) hatte ich erstmal mich verrechnet und es dann aber korrigiert. Das war eine Blitzsache, wo ich also deswegen nicht verstehe was das Problem sein soll.

Für weitere Korrektur ist ja immer noch Gelegenheit.

Ja wo ist denn das Problem an dem Korrigieren von eigenen Beiträgen? Solange es am Ende und nicht zu spät da richtig steht, ist es doch in Ordnung!

Solange es am Ende und nicht zu spät da richtig steht, ist es doch in Ordnung!

Ja. Wenn es denn am Ende richtig da stehen würde, wäre alles in Ordnung.

Das Problem daran sind einzig und allein die blöden Konjunktive.

Es scheitert schon an der Definition von U.

Mein Ansatz ist jetzt korrekt und präzise formuliert. Also sehe ich da kein Problem.

Nicht gut, wenn man die eigenen Fehler nicht sieht.

Es scheitert schon an der Definition von U.

So groß ist die Definition doch nicht. Das schränkt doch die Fehlersuche extrem ein.

U := Lin(1, 0) = {(x, 0)^T : x ∈ ℝ^2}

Nimm von mir aus auch eine Lupe, wenn du es ohne nicht erkennen kannst. Ich bin im Vorteil. Ich habe meine Brille meist immer auf der Nase.

Ja da sollte |R stehen.

Na dann ist ja wenigstens schon mal ein Fehler korrigiert.

Und jetzt lies das Ganze nochmals und nochmals durch, ob du nicht doch noch einen Fehler siehst.

Ich verweise auf die weisen Worte von hj weiter oben.

Du kannst ja einfach auch den Fehler nennen, da ich jetzt keine weiteren Fehler finde.

blob.png

hj hat sich direkt auf deinen Kommentar geäußert. Muss ich mehr dazu sagen. Auch bei c) hast du ja nicht so wahnsinnig viel geschrieben oder?

c) Das ist richtig. Wenn schon ein Element nicht in dem Raum liegt, so kann es die Summe inklusive dieses Elements auch nicht. Überlege mal warum.

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Aloha :)

Die ersten beiden Aussagen kannst mit einem Gegenbeispiel widerlegen. Betrachte dazu die xy-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems als Unterraum \(U\) des \(\mathbb R^3\).

Zu a) Die Vektoren \((0;0;1)\) und \((0;0;-1)\) liegen nicht in der xy-Ebene. Ihre Summe ist der Nullvektor und der liegt in der xy-Ebene. Die Aussage ist also falsch.

Zu b) Die Vektoren \((0;0;2)\) und \((0;0;-1)\) liegen nicht in der xy-Ebene. Ihre Summe ist \((0;0;1)\). Dieser Vektor liegt nicht in der xy-Ebene. Die Aussage ist also falsch.

Die Aussage c) ist korrekt. Das kannst du dir wie folgt überlegen. Der Vektor \(\vec w\) liegt nicht in \(U\). Du kannst diesen Vektor in einen Anteil parallel zum Vektor \(\vec u\in U\) und einen Anteil orthogonal zum Vektor \(\vec u\in U\) zerlegen:$$\vec w=\vec w_\parallel+\vec w_\perp$$Der parallele Anteil liegt in \(U\), der orthogonale Anteil steht senkrecht auf \(U\). Für die Summe gilt nun:$$\vec u+\vec w=\left(\vec u+\vec w_\parallel\right)+w_\perp$$Die geklammerte Summe ist ein Vielfaches des Vektors \(\vec u\) und liegt daher in \(U\), aber der orthogonale Anteil liegt nicht in \(U\). Daher liegt auch die Summe \(\vec u+\vec w\) nicht in \(U\).

In dem Bild der xy-Ebene von oben haben alle Vektoren aus \(U\) die z-Koordinate Null, also auch der Vektor \(\vec u\in U\). Da der Vektor \(\vec w\) nicht zu \(U\) gehört, ist seine z-Koordinate ungleich Null. Die Summe beider Vektoren hat dieselbe z-Koordinate wie \(\vec w\). Da diese von Null verschieden ist, gehört die Summe nicht zu \(U\).

Avatar von 151 k 🚀

Es geht such elementar:

w=(u+w)-u

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Nehme hier U={(0 | 0)} und V als die reelle Ebene

u=(1 | 1), v = (-1 | -1) sind ausserhalb U

aber die Summe ist in U

=> a ist falsch

b ist falsch => Das ist trivial

c ist richtig. Z.B. V =Z. Dann wenn u=4 ganz ist aber w=π nicht ganz ist so ist die Summe auch nicht ganz

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Sollte V nicht ein Vektorraum sein??

V ist doch die Ebene R^2 und das ist ein VR

Bei c) hast Du geschrieben V=Z?

V = R^2, U = {0} sollte auch nur für a und b sein. c ist seperat

Und trotzdem ist V=Z kein Vektorraum über K.

V= Z ist ein Vektorraum

Nein, ist es nicht.

ja ok stmmt dann V=Q

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