Question

Gibt es eine Funktion von ℤ nach ℕ die injektiv, aber nicht surjektiv ist?

Answer 1

$\mathbb{Z}$ und $\mathbb{N}$ sind bekanntermaßen gleichmächtig.

Es gibt also eine Bijektion $f:\; \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N}$,

Die Abbildung $g:\;\mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{N},\; z\mapsto f(z)+1$

hat dann die geforderten Eigenschaften.

Comments

was bedeutet z ↦ f(z) +1?

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Das bedeutet $g(z)=f(z)+1$.

Wörtlich: "$z$ wird abgebildet auf $f(x)+1$".

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okay, ich verstehe noch nicht ganz, wie mir das weiterhilft

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Ist bei euch $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots\}$

oder $\mathbb{N}=\{0,1,2,3,4,\cdots\}$ ?

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Die 0 ist dabei

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$g(z)$ kann nicht 0 werden, also ist $g$ nicht surjektiv.

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ah ja, macht sinn, danke