Substitution in Gleichungen wie macht man das?

Question

Finde eine geeignete Substitution und löse:

a)     (x-2)³ = (x-2)²

 

b) ( 3x - 2)² (3-2 (3x - 2))  =  (3x - 2) (2 - 7 (3x - 2)²)

Answer 1

Wenn immer der gleiche Term auftuacht, aber immer mit unterschiedlichen Exponenten, dann ist es sinnvoll, diesen Term zu substituieren, d.h. den gesamten Term einer anderen Variablen zuzuweisen.

a)

Setze u = (x-2)

Dann wird aus der Gleichung:

u³ = u²

u³ - u² = 0

u² *(u-1) = 0

u₁ = 0 und u₂ = 1

Jetzt musst du noch rücksubstituieren:

u₁= 0 = (x-2) ⇒ x₁= 2

u₂ = 1= (x-2) ⇒ x₂= 3

 

b)

Setze u = (3x-2)

Dann wird aus der Gleichung:

u² * (3-2u)  =  u * (2 - 7 *u²)

3u² - 2u³ = 2u -7u^3

5u^3 + 3u^2 - 2u = 0

u * (5u^2 + 3u - 2) = 0                ⇒  u₁= 0

5u^2 + 3u - 2 = 0

u^2 + 3/5u - 2/5 = 0

p-q-Formel:

u₂₃ = -3/10 ± √((3/10)² + 2/5) = -3/10 ± √(49/100) = -3/10 ± 7/10

u₂ = 4/10 = 2/5        u₃ = -10/10 = -1

Rücksubstituieren:

u₁ = 0 = (3x-2) ⇒ x₁ = 2/3

u₂ = 2/5 = (3x-2) ⇒ x₂ = 4/5

u₃ = -1 = (3x-2) ⇒ x₃ = 1/3
   

Comments

Hallo

zuerst mal danke für deine hilfe, aber ich verstehe nicht wie du auf u_{1= 0} und u_{2 =1} kommst ?

 

warum machst du u² *(u-1)=0

Lg

Answer 2

Zu a, (x-2) :=u dann ergibt das u^3=u^2 äquivalenzumformen liefert dann u^3-u^2=0 da kann man u herausheben: u*u*(u+1)=0 ein Produkt ist genau dann null wenn eines der Faktoren null ist 1. u=0 => Rücksubstitution dass x=2 ist 2. (u+1)=0 => Rücksubstitution: x-1=0 => x=1  bei der b kann man (3x-2) Substituieren und gleich verfahren ...