Aloha :)
Wir untersuchen die Funktion$$f_3\colon\mathbb C\setminus\{1\}\to\mathbb C\,\colon\,f_3(z)=\frac{z}{2z-2}$$Zuerst formen wir die Funktionsgleichung etwas um:$$f_3(z)=\frac{z}{2z-2}=\frac{(z-1)+1}{2z-2}=\frac{z-1}{2z-2}+\frac{1}{2z-2}=\frac12+\frac{1}{2(z-1)}$$
Injektivität
Wir nehmen an, dass es zwei Argumente \(z_1\) und \(z_2\) aus der Defintionsmenge gibt, die dasselbe Ziel haben:$$f_3(z_1)=f_3(z_2)\implies\frac12+\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac12+\frac{1}{2(z_2-1)}\implies\frac{1}{2(z_1-1)}=\frac{1}{2(z_2-1)}$$$$\phantom{f_3(z_1)=f_3(z_2)}\implies\frac{1}{z_1-1}=\frac{1}{z_2-1}\implies z_1-1=z_2-1\implies z_1=z_2$$Das heißt im Umkehrschluss: \(z_1\ne z_2\implies f_3(z_1)\ne f_3(z_2)\).
Verschiedene Argumente haben also stets verschiedene Ziele, die Funktion ist injektiv.
Surjektivität
Wir greifen uns ein beliebiges Element \(c\in\mathbb C\) aus der Zielmenge heraus und prüfen, ob es ein \(z\) aus der Definitionsmenge gibt, das unser ausgewähltes Element \(c\) trifft:$$f(z)\stackrel!=c\implies\frac{1}{2}+\frac{1}{2(z-1)}\stackrel!=c\implies\frac{1}{z-1}=2c-1\stackrel{c\ne\frac12}{\implies} z=\frac{1}{2c-1}+1$$Das Element \(\frac12\) aus der Zielmenge wird von keinem \(z\) aus der Definitionsmenge getroffen.
Die Abbildung ist daher nicht surjektiv.
Bijektivität
Da die Funktion nicht surjektiv ist, ist sie auch nicht bijektiv.
Linearität
Wäre \(f_3\) linear, müsste gelten: \(f_3(2)=2\cdot f_3(1)\). Da \(f_3\) an der Stelle \(z=1\) jedoch nicht definiert ist, ist \(f_3\) nicht linear.
