Hallo!
Kann jemand mir bitte bei dieser Aufgabe helfen? Danke euch im Voraus
Aufgabe:
Berechnen Sie für beliebige \( n \in \mathbb{N} \) die folgende Summe:\(\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}2 n \\2 k\end{array}\right) .\)
Hast du mal versucht, die Aufgabe konkret für n=0, n=1, n=2, n=3 und n=4 zu lösen?
Ja, wollte per Induktion zeigen, dass die Werte der Summe die Form 2^(2n-1)haben, leider konnte ich nicht
Wenn du die beiden Gleichungen ∑ [k=0 .. n] (n über k) = 2^n und (n über k) + (n über k+1) = (n+1 über k+1) kennst, kanst du deine Formel direkt durch Termumformung, ohne Induktion zeigen.
Update : Und wenn du sie nicht kennst, dann mache es so wie A, das ist sogar noch eleganter als
∑ [k=0 .. n] (2n über 2k) = ∑ [k=0 .. 2n] (2n über k) - ∑ [k=0 .. n-1] (2n über 2k+1) = 22n - ∑ [k=0 .. n-1] ( (2n-1 über 2k) + (2n-1 über 2k+1) ) = 22n - ∑ [k=0 .. 2n-1] (2n-1 über k) = 22n - 22n-1 = 2*22n-1 - 22n-1 = 22n-1 = 4^n / 2
Alles klar! ich danke dir
Für \(n\in\mathbb N\) gilt nach dem binomischen Lehrsatz$$2^{2n}=(1+1)^{2n}+(1-1)^{2n}=\sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}k+\sum_{k=0}^{2n}(-1)^k\cdot\binom{2n}k=2\cdot\sum_{k=0}^n\binom{2n}{2k}.$$Die Summanden mit ungeraden Indices addieren sich zu Null.
ist auch eine Möglichkeit! Danke dir
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos