Aufgabe: beweisen Sie: loga(x) = logb(x)/logb(a)
Problem/Ansatz: Wie gehe ich hier vor, bzw. welche Logarithmusgesetze brauche ich? Ich kann ja zuerst mit dem Nenner multiplizieren, aber wie geht es dan weiter?
LG
Vom Duplikat:
Titel: Beweisen Sie das folgende Logarithmusgesetz
Stichworte: beweise,logarithmus
Aufgabe:
Beweise: loga(x)=logb(x) / logb(a)
Mein Ansatz wäre:
logb=x <=> ax=b
loga^x = log b
x*log a = log b
logab*loga = logb
dann nach Logab umstellen
aber es fühlt sich falsch an
Ist das nicht dieselbe Frage
https://www.mathelounge.de/900970/beweisen-sie-loga-x-logb-x-logb-a
ich danke dir... habe die wohl übersehen
Schau mal unter
https://www.matheretter.de/wiki/herleitung-logarithmusregel-basiswechsel
Ich würde über die Definition des log gehen
loga(x) = u <=> au=x
logb(x) = v <=> bv=x
logb(a)= w <=> bw=a
Dann wäre zu beweisen u = v / w bzw
u*w=v
Nun gilt aber x =au=(bw)u Potenzgesetz für: Potenz wird potenziert...gibt
x = bw*u
Aber ( s.o) auch x = bv .
Somit bv = bw*u also v=w*u.
\(b^{\log_b(a)\cdot \log_a(x)}=(b^{\log_b(a)})^{\log_a(x)}=a^{\log_a(x)}=x=b^{\log_b(x)}\).
Exponentenvergleich liefert \(\log_b(a)\cdot\log_a(x)=\log_b(x)\),
also \(\log_a(x)=\log_b(x)/\log_b(a)\)
Und wie kommt man auf das erste b hoch irgendwas?
Indem man viel herumexperimentiert und dabei Erfahrungen sammelt,
die einem irgendwann gestatten, solche Ansätze für erfolgreich zu halten.
Und natürlich, indem man sich an die Definition der Logarithmen
erinnert ;-)
\(\log_a(x)=c \Rightarrow a^c=x ~~~~|\log_b(\ldots)\\ \log_b(a^c)=\log_b(x)\\ c\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)\cdot\log_b(a)=\log_b(x)\\ \log_a(x)=\dfrac{\log_b(x)}{\log_b(a)}\)
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