Vollständige Induktion mit dem Index k=1 bis n über k³

Question

Aufgabe: Beweisen Sie: Für alle n ∈ N ∖ {0} gilt        

$\sum\limits_{k=1}^{n}{k³}$ = $\frac{n²(n+1)²}{4}$

Problem/Ansatz:

So meine lieben Mathefreunde mein Ansatz ist:

Induktion Anfang: Für n = 1 : zum testen der Aussagen! und beide sind wahr

IA: Für ein beliebiges aber festes n element aus N (0) gelte

$\sum\limits_{k=1}^{n}{k³}$ = $\frac{n²(n+1)²}{4}$

Also n = n+1 für beweis der nächsten stelle

Ind Schluss: also zu zeigen: $\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k³}$ =  $\frac{(n+1)²((n+1)+1)²}{4}$

Als nächsten Schritt:

$\sum\limits_{k=1}^{n+1}{k³}$ =  $\sum\limits_{k=1}^{n}{k³}$ + (n+1)³

jetzt benutze ich die IA:                $\frac{n²(n+1)²}{4}$ + (n+1)³

                                                  $\frac{n²(n+1)²+(n+1)³*4}{4}$

                                                   $\frac{n²(n²+2n+1)+(n+1)³*4}{4}$

.. und weiter ausgeklammert gerechnet . co komme ich auf  $\frac{n^4+6n³+13n²+12n+4}{4}$

Aber eigentlich sollte ich bei $\frac{(n+1)²((n+1)+1)²}{4}$ rauskommen.. aber irgendwo habe ich ein Term Fehler oder mein genereller Beweis ist nicht korrekt.

Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen!

Answer 1

Aloha :)

Du bist doch schon fast da. Induktionsanfang ist ok, auch der Induktionsschritt stimmt so weit, du hast nur etwas ungeschickt zusammengefasst. Schauen wir uns den Induktionsschritt mal an:

$$\phantom{=}\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3=\sum\limits_{k=1}^{n}k^3+(n+1)^3\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\frac{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^3$$$$=\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{n^2\cdot(n+1)^2+4(n+1)\cdot(n+1)^2}{4}$$$$=\frac{(\,n^2+4(n+1)\,)\cdot(n+1)^2}{4}=\frac{(n^2+4n+4)(n+1)^2}{4}=\frac{(n+2)^2(n+1)^2}{4}\quad\checkmark$$

Comments

danke für dein support! kannst du vielleicht die schritte 3-4 erklären also warum die (n+1)² verschwinden also die links

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Bis zum Punkt$$\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}$$sollte noch alles klar sein. Darin schreiben wir die 3-te Potenz um:$$\frac{n^2\cdot(n+1)^2+4\,\overbrace{(n+1)\cdot(n+1)^2}^{=(n+1)^3}}{4}$$Jetzt erkennen wir, dass beide Summanden im Zähler den Faktor $(n+1)^2$ gemeinsam haben und klammern diesen nach rechts aus:$$\frac{\overbrace{n^2}^{=a}\cdot\overbrace{(n+1)^2}^{=c}+\overbrace{4(n+1)}^{=b}\cdot\overbrace{(n+1)^2}^{=c}}{4}=\frac{(\overbrace{n^2}^{=a}+\overbrace{4(n+1)}^{=b})\cdot\overbrace{(n+1)^2}^{=c}}{4}$$Jetzt multiplizieren wir den Faktor $b$ aus:$$=\frac{(n^2+4n+4)\cdot(n+1)^2}{4}$$und erkennen in dem ersten Faktor des Zählers die binomische Formel $(n+2)^2$:$$=\frac{(n+2)^2\cdot(n+1)^2}{4}$$

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danke! konnte alles nachvollziehen!

Answer 2

Es war äußerst unklughaft, n²(n+1)²+(n+1)³∗4 auszumultiplizieren.

Klammere da lieber (n+1)² aus, weil du das sowieso in der Behauptung als Faktor benötigst.

Comments

aber auch, wenn ich ausklammere komme ich nicht auf das richtige Ergebnis

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Doch!

Nach dem Ausklammern bleibt in der Klammer ein Term übrig, der exakt dem verlangten (n+1+1)²=(n+2)² entspricht!