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Hier mal eine Aufgabe mit der ich nicht so richtig Zurechtkomme. Vielen dank im Voraus für eure Hilfe ihr seid toll-

Gegeben ist die Funktion \( f : [0,∞) → B \) mit \( f(x) = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} + 1} \).

a) Bestimmen Sie (durch eine grobe Skizze von Graph f) die Menge B = Bild(f).

b) Beurteilen Sie anhand der Skizze von Graph f, ob f : [0,∞) → B bijektiv ist.

c) Bestimmen Sie die inverse Funktion (Umkehrfunktion) \( f^{-1} : B → [0,∞) \), falls sie definiert ist.

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Die Skizze zu a)

B = [-4,?0?)   Gemäss Abb. Vielleicht. Rechnung unten zeigt etwas anderes!           

 

y=\frac { \sqrt { x } -4 }{ \sqrt { x } +1 } =\frac { \sqrt { x } +1\quad -5 }{ \sqrt { x } +1 } \quad =\quad 1\quad -\frac { 5 }{ \sqrt { x } +1 } \\ \\ \\ \\ Ω

 

 

 

Also B= [-4, 1). -4 wird erreicht bei x=0. 1 ist der Grenzwert für x gegen unendlich. 

√x ist immer > 0. -------> keine Def.lücken für x>0.

Die Funktion ist monoton steigend, da der 2. Term der Subtraktion monoton fällt.

Daher ist die Umkehrbarkeit gegeben. f^{-1} (x) ist berechenbar.

Funktionsgleichung folgt.

 

y=\quad 1\quad -\frac { 5 }{ \sqrt { x } +1 } \\ y\quad -\quad 1\quad =\quad -\frac { 5 }{ \sqrt { x } +1 } \\ \sqrt { x } +1\quad =\quad -\frac { 5 }{ y-1 } \\ \sqrt { x } \quad =\quad -\frac { 5 }{ y-1 } -1\quad =\quad \frac { -5-(y-1) }{ y-1 } \quad =\quad \frac { -4\quad -y }{ y-1 } \\ x\quad =\quad \frac { (y+4){ \quad  }^{ 2 } }{ (y-1){ \quad  }^{ 2 } } \\ \\ y\quad =\quad \frac { (x+4){ \quad  }^{ 2 } }{ (x-1){ \quad  }^{ 2 } } \\ \\ \\ \\ 

 

Am Graph der Umkehrfunktion sieht man gut, dass diese im Def. Bereich [-4,1) das Spiegelbild der ursprünglichen Funktion ist.:

 

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