Für welche z in C \ {-1} konvergiert die Reihe

Question

Aufgabe:

Für welche $z \in \mathbb{C} \backslash\{-1\}$ konvergiert die Reihe $\sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n-1}}{(1+z)^{n}} ?$ Bestimme den Grenzwert, falls er existiert.

Problem/Ansatz:

ich habe es versucht . ich habe gefunden , dass Re(z)>-1/2  sein muss (mit geometrische Reihe und Indexverschiebung).

Answer 1

Das Quotientenkriterium für Reihen liefert$$|\frac{z}{1+z}|<1$$
als hinreichende Bedingung für die Konvergenz.

Man substituiere $y=\frac{z}{1+z}$. Dann geht die Reihe über in $$\frac{1}{1+z}\sum_{n=0}^{\infty} y^n =\frac{1}{1+z}\cdot\frac{1}{1-\frac{z}{1+z}}=1$$ ...