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Aufgabe:

1. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Grenzwertsätzen.

a) \( \lim\limits_{n\to\infty} \) (1-\( \frac{1}{3n - 1} \))2n+4


Problem/Ansatz:

Wie berechnet man das am Besten? mit Substitution? Irgendwie habe ich dazu leider keine ähnliche Aufgaben gefunden.. Ich lerne es für die Klausur..

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Aloha :)

$$\phantom{=}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{3n-1}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n+4}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23+\frac{14}{3}}$$$$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}\cdot\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{\frac23}{2n-\frac23}\right)^{\frac{14}{3}}=e^{-\frac23}\cdot1=\frac{1}{e^{\frac23}}=\frac{1}{\sqrt[3]{e^2}}$$

Avatar von 149 k 🚀

Hey, wie kommst du hier auf 2/3?

Es gilt ja allgemeint:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x$$Wenn \(n\to\infty\) geht, dann geht auch \((2n-\frac23)\to\infty\). Daher gilt auch:$$\lim\limits_{(2n-\frac23)\to\infty}\left(1+\frac{x}{2n-\frac23}\right)^{2n-\frac23}=e^x$$Ich habe den Bruch mit \(\frac23\) erweitert, damit der Nenner von \((3n\ldots)\) zu \((2n\ldots)\) wird, sodass ich den Exponenten \((2n\ldots)\) einfacher an den Nenner des Bruches anpassen kann.

Achsoo oki danke. Weißt du auch wie man es mit Substitution machen kann?

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