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Aufgabe: lim (1+ xn)1/xn = e


Problem/Ansatz:

Hallo

Ich habe die oben stehende Aufgabe gegeben mit den Infos, dass xn eine Nullfolge ist, keines der Folgenglieder 0 ist und für alle Folgenglieder größer als -1 sind. Diese Behauptung sollen wir nun beweisen. Um ehrlich zu sein, habe ich mich jetzt schon 5 Tage daran versucht und keine Lösung gefunden, deshalb würde ich hier einfach mal fragen wollen, ob jemand damit zurecht kommt.

Beste Grüße

WiMaJoPa

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Vorläuferaufgaben wie z.B. https://www.mathelounge.de/489217/bestimmen-sie-den-grenzwert-der-folge-falls-er-existiert-a sind bekannt? Darfst du so was verwenden?

Vermutlich geht n gegen unendlich nicht x. Richtig?

Genau. N geht gegen unendlich. Und leider darf ich sowas nicht verwenden. :(

Was darfst du denn überhaupt verwenden?

Thema in der Theorie? Definitionen? Wie habt ihr denn e z.B. definiert?

Also wir hatten die beiden Definitionen von e, also

lim (1 + 1/n) ^n = e und

Summe k bis unendlich 1/k! = e.

Sämtliche Definitionen zu Limes und zu Folgen.

1 Antwort

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Vielleicht dürft ihr die Eigenschaften von \(\ln\), \(\exp\) und die Regel
von l'Hospital verwenden. Wenn ja, dann wäre dies mein Lösungsvorschlag:

\(\exp\) und \(\ln\) sind stetige Umkehrfunktionen von einander.

Daher gilt

\((1+x_n)^{1/x_n}\rightarrow e\iff \ln[(1+x_n)^{1/x_n}]\rightarrow 1\) für \(n\rightarrow\infty\).

Es ist $$\lim_{n\rightarrow\infty}\ln[(1+x_n)^{1/x_n}]=\lim \frac{1}{x_n}\cdot \ln(1+x_n).$$Wir berechnen$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac {\ln(1+x)}{x}$$mit der Regel von l'Hospital:$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{1}{1+x}}{1}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{1+x}=1$$q.e.d.

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