Steckbriefaufgabe einer Funktion 4. Grades

Question

Aufgabe:

Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion ist bekannt, dass er einen lokalen PMin(1|1) hat, dass er durch P(0|2) verläuft und dass er Achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

Problem/Ansatz:

Ich habe 5 Bedingungen aufgestellt:

f(1)=1

f(0)=2

f(-1)=1

f(-0 bzw. 0)=2

f‘(1)=0

Dann setze ich die Zahlen jeweils in die Allgemeingleichungen ein und gebe diese Zahlen anschließend in den Taschenrechner ein:

1 1 1 1 1 = 1

0 0 0 0 1 = 2

1 -1 1 -1 1 = 1

0 0 0 0 1 = 2

-4 3 -2 1 0 = 0

Wenn ich EXE betätige kommt „mathematischer Fehler“. Irgendetwas scheint hier falsch zu sein, habe auch schon etwas herumprobiert und statt f(-0) = 2, dann f‘(-1) = 0 genommen, es kam aber das selbe heraus.

Comments

Deine 2. und 4. Bedingung sind identisch.

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Was soll das denn für ein Taschenrechner sein?

Answer 1

Die ungeraden Exponenten entfallen wegen der genannten Symmetrie.

Wenn Dir das nicht bekannt ist, kannst Du auch dieses Gleichungssystem lösen:

a*(1)⁴ + b*(1)³ + c*(1)² + d*(1) + e = 1

4a*(1)³ + 3b*(1)² + 2c*(1) + d = 0

a*(0)⁴ + b*(0)³ + c*(0)² + d*(0) + e = 2

a*(-1)⁴ + b*(-1)**3 + c*(-1)² + d*(-1) + e = 1

4a*(-1)³ + 3b*(-1)² + 2c*(-1) + d = 0

Mit der Lösung a = 1, b = 0, c = - 2, d = 0, e = 2

Answer 2

Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion ist bekannt, dass er einen lokalen P_Min(1|1) hat, dass er durch P(0|2) verläuft und dass er achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft.

f(x)=a*x⁴+c*x²+e

P_Min(1|1)

f(1)=a+c+e       1.) a+c+e =1

P(0|2)

f(0)=e           2.) e=2      in 1.) a+c+2 =1      a+c=-1

Extremwerteigenschaft :

f´(x)=4a*x³+2c*x

f´(1)=4a+2c    3.)   4a+2c =0    3.)  2a+c =0      3.)  c=-2a   in 1.) a-2a=-1     1.)a=1    3.) c=-2

f(x)=x⁴-2x²+2

Comments

"Vom Graphen einer ganzrationalen Funktion ist bekannt, dass er einen lokalen P_Min(1|1) hat, dass er durch P(0|2) verläuft und dass er achsensymmetrisch zur y-Achse verläuft."

Ich verschiebe den Graph um eine Einheit nach unten:

P´_Min(1|0)  doppelte Nullstelle und doppelte Nullstelle bei x=-1   wegen Symmetrie           P´(0|1).

Weiter mit der Linearform der Parabel mit Grad 4

f(x)=a*(x²-1)²

f(0)=a*(0-1)²=a     a= 1

f(x)=(x²-1)²

Nun wieder eine Einheit nach oben:

p(x)=(x²-1)²+1

Answer 3

f(x) = ax⁴+bx²+c

f(1) =1

f(0) = 2

f '(1) = 0

Die ungeraden Exponenten entfallen wegen der genannten Symmetrie.