Finden Sie eine nichttriviale 2x2 Matrix A so dass A * A = 0

Question

Ich komme hier leider nicht auf eine Lösung.

Finden Sie eine nichttriviale 2x2 Matrix A so dass A * A = 0

Answer 1

Hallo,

rechne es doch einfach aus! jede 2x2-Matrix $A$ lässt sich schreiben als$$A= \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$und das Produkt der Matrix $A$ mit sich selbst ist$$A \cdot A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2+bc & b(a+d) \\ c(a+d) & bc+d^2 \end{pmatrix}$$und aus der Forderung, dass $A^2$ die 0-Matrix sein soll folgt:$$\begin{aligned} \implies a^2+bc &= 0\\ b(a+d) &= 0 \\ c(a+d) &= 0 \\ bc+d^2 &= 0\\ \end{aligned}$$Da kann man zwei Fälle betrachten.

1.Fall: $a+d \ne 0$. Dies führt dann automatisch zu $b=c=0$ (2. und 3. Gleichung) und damit wird dann aber auch $a=d=0$ (1. und 4. Gleichung). D.h. dieser Fall ist keine Lösung.

2.Fall: $a+d=0$ daraus folgt $d=-a$ und die 2. und 3. Gleichung sind erfüllt und die 1. und 4. Gleichung fallen zusammen. Dann bleibt noch$$a^2+bc = 0 \implies \left(c = -\frac{a^2}{b} \quad b \ne 0 \right) \lor (a=0 \land bc=0)$$D.h. die Elemente $a$ und $b$ sind frei wählbar, und $c$ und $d$ folgen dann daraus. Von $b$ und $c$ muss mindestens ein Wert $\ne 0$ sein.

Beispiele $$A= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -4/3 & -2 \end{pmatrix}, \quad A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} c \ne 0$$Gruß Werner

Answer 2

Probiere mal A=

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