Matrix von lineare Abbildung finden

Question

Aufgabe:

Die lineare Abbildung von \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) ist gegeben durch
\( f(x, y)=(3x-y,-x-y, 3x+3y) \)
Betrachte die folgenden neuen Basen:
\( \text { - in } \mathbb{R}^{2}:\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right] \text {, } \)
- im Bild: \( \left[\begin{array}{c}2 \\ -2 \\ 6\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-21 \\ 15 \\ -45\end{array}\right] \).

Gib die Matrix von \( f \) in Bezug auf diese oberen neuen Basen an.

Problem/Ansatz:

Danke für die Hilfe.

Comments

Sind in deiner Aufgabe tatsächlich nur zwei Basisvektoren für \(\mathbb R^3\) gegeben?

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Bild ist 2-dim.

Answer 1

Besser vielleicht so geschrieben

\(f(\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix})=  \begin{pmatrix} 3x-y\\-x-y\\3x+3y  \end{pmatrix} =  x\begin{pmatrix} 3\\-1\\3  \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1\\-1\\3  \end{pmatrix}  \)

Da sieht man gleich: Bild ist 2-dim, also 2 Basisvektoren sinnvoll.

Bilder der Basisvektoren von R^2 sind

\(   f( \begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}) = \begin{pmatrix} 2\\-2\\6  \end{pmatrix}=  1\begin{pmatrix} 2\\-2\\6  \end{pmatrix} + 0 \begin{pmatrix} -21\\15\\-45  \end{pmatrix} \)

Also ist die erste Spalte der Matrix klar \(\begin{pmatrix} 1&?\\0&? \end{pmatrix} \)

\(  f( \begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}) = \begin{pmatrix} 5\\-3\\9 \end{pmatrix}=  x\begin{pmatrix} 2\\-2\\6  \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -21\\15\\-45  \end{pmatrix} \)

mit x=-1 und y=-1/3 ist die Matrix fertig:\(\begin{pmatrix} 1&-1\\0& -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \)

Comments

Auch wenn das Bild von f nur ein 2-dimensionaler Unterraum ist, erscheint es mir sehr ungewöhnlich, eine \(\color{blue}{2} \times 2\)-Matrix als Darstellung einer linearen Abbildung von \(\mathbb R^2\) nach \(\mathbb R^\color{blue}{3}\) zu sehen.