Lokale Steigung einer Funktion

Question

Aufgabe:

Berechne die Steigung der Funktion f an der Stelle x₀ mit Hilfe der x-Methode und der h-Methode.

f(x) = 2x^2 , x₀ = -1

Problem/Ansatz:

ich verstehe die Methoden nicht

Answer 1

x- Methode:

(f(x) - f(x0))/(x-x0) = (2x^2-2x0^2)/(x-x0) = (2(x^2-x0^2)/(x-x0)

x^2-x0^2 = (x+x0)(x-x0)

kürzen:

-> 2(x+x0) = 2x für x0 gegen 0

-> f'(x) = 2x -> f '(-1) = -2

h-Methode:

(f(x+h)^2 -f(x))/ h

....

Am Ende h gegen 0 gehen lassen.

Comments

Die h-Methode sieht so aus:

\( \begin{aligned} f(x) &=2 x^{2} \\ f^{\prime}(x) &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h\right)-f\left(x_{0}\right)}{h} \\ x_{0} &=-1 \\ f^{\prime}(-1) &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{2(-1+h)^{2}-2(-1)^{2}}{h} \\ &=\lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{2\left(1-2 h+h^{2}\right)-2}{h} \\ &=\lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{2-4 h+2 h^{2}-2}{h} \\ &=\lim \limits_{h \rightarrow 0}\frac{-4 h+2 h^{2}}{h} \\ &=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac{h(-4+2 h)}{h} \\ &=\lim \limits_{h \rightarrow 0}-4+2 h \\ &=-4 \end{aligned} \)