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Aufgabe:

Wie beweise ich Folgendes mit vollständiger Induktion nach n?


Problem/Ansatz:

nN0(g1)(i=0n1gi)=gn1 \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad für gZ g \in \mathbb{Z}

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nN0(g1)(i=0n1gi)=gn1 \bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad für gZ g \in \mathbb{Z}

Ind. anfang: n=0 . Dann hast du 0=0.

Angenommen, die Gleichung gilt für ein n∈ℕo, dann folgt:

(g1)(i=0ngi)=(g1)(i=0n1gi+gn) (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n} g^{i}\right)= (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}+ g^n\right)

=(g1)(i=0n1gi)+(g1)gn== (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right) + (g-1) \cdot g^n=

Induktionsannahme einsetzen

=gn1+(g1)gn=gn1+gn+1gn=gn+11= g^{n}-1 + (g-1) \cdot g^n= g^{n}-1 + g^{n+1} -g^n = g^{n+1} -1

q.e.d.

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