Wie beweise ich Folgendes mit vollständiger Induktion nach n?

Question

Aufgabe:

Wie beweise ich Folgendes mit vollständiger Induktion nach n?

Problem/Ansatz:

$\bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad$ für $g \in \mathbb{Z}$

Answer 1

$\bigwedge_{n \in \mathbb{N}_{0}}(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right)=g^{n}-1 \quad$ für $g \in \mathbb{Z}$

Ind. anfang: n=0 . Dann hast du 0=0.

Angenommen, die Gleichung gilt für ein n∈ℕo, dann folgt:

$(g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n} g^{i}\right)= (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}+ g^n\right)$

$= (g-1) \cdot\left(\sum \limits_{i=0}^{n-1} g^{i}\right) + (g-1) \cdot g^n=$

Induktionsannahme einsetzen

$= g^{n}-1 + (g-1) \cdot g^n= g^{n}-1 + g^{n+1} -g^n = g^{n+1} -1$

q.e.d.