Wie beweise ich die Ungleichung (1-x)^n > 1/(1 + nx) für 0<x<1 mit vollständiger Induktion?

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie m.H. der vollst. Induktion folgende Ungleichung

Für 0 < x < 1 und n ∈ ℕ gilt (1-x)ⁿ < \( \frac{1}{1+nx} \)

Bitte um Hilfe

Answer 1

Zu zeigen:
(1 - x)^n < 1/(1 + n·x) für 0 < x < 1

Induktionsanfang: n = 1
(1 - x)^1 < 1/(1 + 1·x) für 0 < x < 1
1 - x < 1/(1 + x)
(1 - x)·(1 + x) < 1
1 - x^2 < 1
-x^2 < 0 → wahr

Induktionsschritt: n → n + 1
(1 - x)^(n + 1) < 1/(1 + (n + 1)·x)
1/(1 + n·x)·(1 - x) < 1/(1 + (n + 1)·x)
(1 + (n + 1)·x)·(1 - x) < (1 + n·x)
-n·x^2 - x^2 + n·x + 1 < 1 + n·x
-n·x^2 - x^2 < 0 → wahr

Comments

Wie kommst du beim Induktionsschritt auf

1/(1 + n·x)·(1 - x) < 1/(1 + (n + 1)·x) ?

LG

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Ich habe die Induktionsannahme ersetzt.

Answer 2

Induktionsanfang bekommst du wohl selbst hin. 1 - x < 1/(1+x) ist äquivalent zu 1-x^2 < 1 (wieso diese Formel? Wieso Äquivalenz?), was eine wahre Aussage ist (wieso?).

Wenn die Aussage jetzt für ein n gilt, dann hast du:

$$\begin{aligned} (1-x)^{n+1} &= (1-x)^{n}\cdot(1-x)\\ &\stackrel{\text{(IV)}}{<} \frac{1}{1+n\cdot x}\cdot (1-x)\\ &= \frac{1-x}{1+n\cdot x}\\ &\stackrel{?}{\leq} \frac{1}{1+ n\cdot x + x}\\ &= \frac{1}{1+(n+1)\cdot x} \end{aligned}$$

Den Rest musst du selbst herausfinden.

LG

Comments

Hi,

wie kommt man von \( \frac{1-x}{1+n·x}\) auf \( \frac{1}{1+n·x+x} \) ?

Und müsste die (1-x) nicht mit dem Nenner des Terms \( \frac{1}{1+n·x}\) multipliziert werden sodass \( \frac{1}{1-x+nx-n^2} \) rauskommt?

Ich mein ich weiß, dass am Ende eigentlich schon \( \frac{1}{1+n·x+x} \) rauskommen sollte, weil das ja genau meine Induktionsbehauptung ist und damit bewiesen wäre... Aber ich komme einfach nicht darauf..

Eventuell kann da nochmal jemand helfen...

Grüße