Zeigen Sie, dass die Ereignisse genau dann unabhängig sind, wenn die Zufallsvariablen …

Question

Aufgabe:

Seien \( \Omega \neq \emptyset \) eine abzählbare Menge und \( A_{1}, A_{2} \subseteq \Omega . \) Für \( i=1,2 \) bezeichne \( \mathbb{1}_{A_{i}} \) die Indikatorfunktion von \( A_{i} \) (vgl. Folie 154). Zeigen Sie, dass die Ereignisse \( A_{1} \) und \( A_{2} \) genau dann unabhängig sind, wenn die Zufallsvariablen \( \mathbb{1}_{A_{1}} \) und \( \mathbb{1}_{A_{2}} \) unabhängig sind.

Comments

(vgl. Folie 154)

Und was steht auf Folie 154?

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Definition 1.15.12
Eine beschränkte Menge \( A \subseteq \mathbb{R}^{n} \) heißt
Jordan-messbar, wenn für jedes Rechteck \( B=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right] \) mit \( B \supseteq A \) das R-integral \( \int \limits_{B} \mathbb{1}_{A}(x) d x \) existiert.
Jordan-Nullmenge, wenn für jedes \( B=\left[a_{1}, b_{1}\right] \times \cdots \times\left[a_{n}, b_{n}\right] \) mit \( B \supseteq A \) gilt, dass \( \int \limits_{B} \mathbb{1}_{A}(x) d x=0 . \)

Hierbei ist \( \mathbb{1}_{A}: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) die Indikatorfunktion von \( A \), die definiert ist durch
\( \mathbb{1}_{A}(x):=\left\{\begin{array}{ll} 1 & , \quad x \in A \\ 0 \quad, \quad & x \notin A \end{array}\right. \)
Offenbar ist jede Jordan-Nullmenge Jordan-messbar.

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Schreibe die Definitionen für

- A_1 und A_2 unabhängig

- \(1_{A_1}\) und \(1_{A_2}\) unabhängig

untereinander und vergleiche.