Stetigkeit auf ganz R einer subadditiven Funktion zeigen

Question

Aufgabe:

Eine Funktion \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) heißt subadditiv, falls \( f(x+y) \leq f(x)+f(y) \quad \) für alle \( x, y \in \mathbb{R} . \) Zeigen Sie, dass eine subadditive Funktion, die stetig in \( x_{0}=0 \) ist und für die \( f(0)=0 \) gilt, III bereits stetig auf ganz \( \mathbb{R} \) ist.

Comments

https://math.stackexchange.com/questions/916109/subadditivity-and-continuity-at-zero-implies-continuity-at-all-points

Answer 1

Ist \((y_n)\) eine Nullfolge, so gilt wegen der Stetigkeit von \(f\) in 0

und \(f(0)=0\): \(\lim f(y_n)=0\).

Sei nun \(x\in R\) beliebig und \(x_n\) eine Folge mit \(\lim x_n=x\).

Dann haben wir

\(\lim f(x_n)=\lim f((x_n-x)+x)\leq \lim f(x_n-x)+f(x)=\)

\(=0+f(x)=f(x)\),

da \(x_n-x\) eine Nullfolge ist.

Mit \(x=(x-x_n)+x_n\) zeigt man entsprechend \(f(x)\leq \lim f(x_n)\),

also insgesamt ist \(\lim f(x_n)=f(\lim x_n)\).

Das Folgenkriterium für die Stetigkeit in \(x\) ist also erfüllt,

q.e.d.