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Die Funktion \( f \) sei gegeben durch
\( f(x)=\frac{\ln x}{x} \quad \text { für alle } x \in(0, \infty) . \)
a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von \( f \).
b) Berechnen Sie den Grenzwert von \( f(x) \) für \( x \rightarrow 0+ \) und \( x \rightarrow \infty \).
c) Hat \( f \) ein globales Maximum oder ein globales Minimum?

von

Nächste Woche lernt ihr bestimmt erste Ableitungen.

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

Könntest du uns freundlicherweise mitteilen, wo dein
Problem ist? Woran bist du gescheitert?

Eine gewisse Eigenleistung wäre schon angesagt !

Eine gewisse Eigenleistung wäre schon angesagt !

Immerhin muss man die Aufgabe nicht erraten. Das ist doch auch schon was, oder? :))

;-) \(\;\;\;\;\;\;\)

Eine gewisse Eigenleistung wäre schon angesagt !


Hallo ermanus,

diese hier eher seltene Forderung hat mir erst mal vor Augen geführt, dass du gar nicht irgendein ermanus, sondern DER ermanus aus dem anderen Forum bist, dessen Namen man hier nicht posten darf (Beitrag wird sonst geblockt).

Schön, dich wieder zu lesen.

Was hat dich eigentlich von dort vertrieben? War es eher die mangelnde Publikumsresonanz, oder hattest du von Nutzern wie Rund(umschlag)blick die Nase voll?

(Leider gibt es hier keine Möglichkeit, private Nachrichten zu verschicken. Ich hätte also Verständnis, wenn du nicht öffentlich antwortest.)

Hallo abakus,

habe mir schon gedacht, dass du DER abakus bist.
In dem anderen Forum gab es eine ziemliche
Sauregurkenzeit, immer weniger interessante Fragestellungen und
in der Tat auch gewisse sogenannte Rundblicke, deren
Umgang mit manchen FragestellerInnen ich nicht gerade
angenehm fand. Da ich aber allemal ebenso ein
arrogantes Oberschlaule zu spielen in der Lage bin, hat er sich
mir gegenüber wohl zurückgehalten. Die StudentInnen haben mir aber
häufig Leid getan. Hier tummeln sich vielleicht ein paar
wohlwollendere Helfer, ein paar habe ich ja auch wiedererkannt:
z.B. supporter und lul (ledum). Die Auffassungen, wie man
den Studiosi/ae helfen kann, "tolle Mathematiker" zu werden,
sind wohl ausgesprochen verschieden ...
Das ist OK, nur aggressiven, überheblichen Mist kann ich
nicht ab.
Habe mich über deinen Post sehr gefreut !

2 Antworten

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Die Funktion \( f \) sei gegeben durch\( f(x)=\frac{\ln x}{x} \quad \text { für alle } x \in(0, \infty) . \)a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von \( f \).b) Berechnen Sie den Grenzwert von \( f(x) \) für \( x \rightarrow 0+ \) und \( x \rightarrow \infty \).c) Hat \( f \) ein globales Maximum oder ein globales Minimum?

a) f(x)=\( \frac{lnx}{x} \)

\( \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln (x) \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln (x)}{x^{2}} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1-\ln (x)}{x^{2}}=0 \\ \ln (x)=1 \mid e \\ e^{\ln (x)}=e^{1} \\ x=e \rightarrow \rightarrow f(e)=\frac{\ln (e)}{e}=\frac{1}{e} \end{array} \)
Art des Extremum
\( \left[\frac{1-\ln (x)}{x^{2}}\right] \cdot=\frac{\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot x^{2}-(1-\ln (x)) \cdot 2 x}{x^{4}}=\frac{-x-2 x+2 x \ln (x)}{x^{4}}=\frac{-3+2 \ln (x)}{x^{3}} \)
Hier nun \( e \) einsetzen:
\( \frac{-3+2 \ln (e)}{e^{3}}=\frac{-1}{e^{3}}<0 \rightarrow \text { lokales Maximum } \)

b)\( x \rightarrow 0+ \)

0,010,020,30,4
≈-460,5
≈-195,6
≈-4,01
≈-2,3

\( x \rightarrow 0+ \) strebt gegen -∞

Mit der Regel von l´Hospital

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{lnx}{x} \)=\( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{1}{x} \)=0

c) Hat \( f \) ein globales Maximum oder ein globales Minimum?

Das globale Maximum ist das lokale Maximum. Ein globales Minimum gibt es nicht.

von 17 k
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a) f'(x) =0

Quotientenregel:

(1/x*x-lnx*1)/x^2 = (1-lnx)/x

1-lnx = 0

lnx = 1

x= e^1 = e



b) L'Hospital anwenden:

x->0

(1/x)/1 = 1/x -> lim x->0 = +oo
x->oo -> lim x->oo = 0
c) f' '(e)= 0f ''(e) bestimmen:
u= 1+lnx -> u' = 1/xv= x^2 -> v' = 2x
-> (1/x*x^2-(1+lnx)*2x)/x^4 = ...
f''(e) = ....
falls >0 -> Minimum

falls <0 -> Maximum
https://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+lnx%2Fx

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