Die Funktion f sei gegeben durchf(x)=xlnx fu¨r alle x∈(0,∞).a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von f.b) Berechnen Sie den Grenzwert von f(x) für x→0+ und x→∞.c) Hat f ein globales Maximum oder ein globales Minimum?
a) f(x)=xlnx
dxdy=x2x1⋅x−ln(x)⋅1=x21−ln(x)
x21−ln(x)=0ln(x)=1∣eeln(x)=e1x=e→→f(e)=eln(e)=e1
Art des Extremum
[x21−ln(x)]⋅=x4(−x1)⋅x2−(1−ln(x))⋅2x=x4−x−2x+2xln(x)=x3−3+2ln(x)
Hier nun e einsetzen:
e3−3+2ln(e)=e3−1<0→ lokales Maximum
b)x→0+
0,01 | 0,02 | 0,3 | 0,4 |
≈-460,5
| ≈-195,6
| ≈-4,01
| ≈-2,3 |
x→0+ strebt gegen -∞
Mit der Regel von l´Hospital
x→∞limxlnx=x→∞limx1=0
c) Hat f ein globales Maximum oder ein globales Minimum?
Das globale Maximum ist das lokale Maximum. Ein globales Minimum gibt es nicht.