Beispiele für Stabilitätsfunktionen von Runge-Kutta-Verfahren

Question

Aufgabe: Beispiele für Stabilitätsfunktionen von Runge-Kutta-Verfahren.

Die Runge-Kutta-Verfahren zu den beiden folgenden Butcher-Tableaus sind konvergent.

Berechnen Sie die Stabilitätsfunktionen $R(z)$ für die beiden Verfahren.
Bestimmen Sie jeweils, ob die Verfahren A-stabil sind oder nicht.

Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?

Danke im Voraus!

Comments

Ist das nun eine Art Fortsetzung von https://www.mathelounge.de/881804/konsistenz-von-runge-kutta-verfahr… ?

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Danke für deine Antwort

Also wie kann ich die Stabilitätsfunktionen $R(z)$ für die beiden Verfahren berechnen?

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zu a) :

I − zA = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -z/3 & 1 & 0 \\ 0 & -2z/3 & 1 \end{pmatrix}$

I − zA + z1b^T = $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -z/3 & 1 & 0 \\ 0 & -2z/3 & 1 \end{pmatrix}$ + $\begin{pmatrix} z/4 & 0 & 3z/4 \\ z/4 & 0 & 3z/4 \\ z/4 & 0 & 3z/4 \end{pmatrix}$ = $\begin{pmatrix} 1+ z/4 & 0 & 3z/4 \\ -z/12 & 1 & 3z/4 \\ z/4 & -2z/3 & 1+ 3z/4 \end{pmatrix}$

=>  R(z) = det(I − zA + z1b^T) / det(I − zA) = (1 + z + z²/2 + z³/6) / 1 = 1 + z + z²/2 + z³/6

Da der Grad des Zählerpolynoms größer ist als der Grad des Nennerpolynoms, gilt
$\lim\limits_{z\to\infty}$  $R(z)$ = $\infty$
und das Verfahren a)  ist nicht A-stabil

Richtig so?

Answer 1

Die Berechnungen sind richtig. Aber muss Du für die A-Stabilität nicht nachweisen, dass die ganze linke komplexe Halbebene im Stabiltätsbereich $$S = \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |R(z)| < 1 \}$$ liegt?

Da jetzt $$\lim_{z \to - \infty} |R(z)| = \infty$$ gilt, ist das Runge Kutta Verfahren nicht A-stabil.

Comments

Danke erstmal für deine Antwort

Aber muss Du für die A-Stabilität nicht nachweisen, dass die ganze linke komplexe Halbebene im Stabiltätsbereich $$S = \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |R(z)| < 1 \}$$ liegt?

hmm ja es könnte sein. wie kann ich das nachweisen?

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Kannst du mir bitte dabei helfen?

https://www.mathelounge.de/905127/prothero-robinson-testgleichung-nu…

Ich muss das heute abgeben

Danke im Voraus!