Zeigen Sie, dass die Relation "ist Teilmenge von" ⊆ eine Ordnungsrelation auf der Menge M definiert

Question

Aufgabe:

Sei M die Potenzmenge der Menge A={a,b,c,d}. Zeigen Sie, dass die Relation "ist Teilmenge von"  ⊆ eine Ordnungsrelation auf der Menge M definiert und zeichnen Sie ein aufsteigendes Diagramm dieser Ordnungsrelation auf M .

Problem/Ansatz:

Wie zeigt man, dass es sich um eine Ordnungsrelation handelt und wie sähe die Potenzmenge genau aus? Bin mir da noch ziemlich unsicher.

Danke schonmal

Answer 1

wie sähe die Potenzmenge genau aus?

Da A endlich ist, ist das ziemlich einfach:

Es sind : ∅,

dann alle einelementigen Teilmengen

{a} , {b} , ...

dann alle zweielementigen etc.

bis zu M selbst.

dass es sich um eine Ordnungsrelation handelt

Schau, wie ihr den Begriff definiert habt.

vielleicht nur  "transitiv ".

Dann zeige für je 3 Elemente der Potenzmenge gilt

X⊆Y und Y⊆Z   ==>   X⊆Z.

Comments

Hallo danke erstmal :)

Aber ich habe immer noch nicht ganz verstanden, wie ich zeige dass es sich um eine Ordnungsrelation handelt, weil ich ja keine Formel oder so gegeben habe. Muss ich dann für alle Mengen der Potenzmenge Reflexivität, Antisymmetrie und Transitivität zeigen und wie genau mache ich das ohne Formel?

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Vermutlich brauchst du nur "transitiv"

für eine Ordnungsrelation. Etwa so:

Seien X,Y ∈ M mit X⊆Y und Y⊆Z

==>   1. Für alle x∈X gilt x∈Y

und   2. Für alle y∈Y gilt y∈Z

Sei nun x∈X

wegen 1. also x∈Y

wegen 2. aber auch x∈Z

Also gilt für alle x∈X auch x∈Z

==>  X⊆Z.

Somit ist "⊆" transitiv auf M.

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Und das wäre dann der Beweis schon? Dann hab ich das verstanden danke :)

Aber wie würde dann das Diagramm zur Ordnungsrelation aussehen, also welche Elemente gehören dazu?

Alle die in der Potenzmenge sind und wenn ja wie ordnet man die denn?

Sorry für die ganzen Fragen

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Die leere Menge ganz unten.

Darüber die einelementigen und von der leeren zu jeder

einelementigen ein Strich.

Darüber die 2-elementigen mit den entsprechenden Strichen,

also von {a} und von {b} zu {a,b} und von {a} und von {c} zu {a,c}

etc.

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Okay vielen Dank, dachte erst das man da vlt welche weglassen muss, weil es sonst zu durcheinander wird.

Aber dann hab ich es verstanden :)