Bestimmen Sie alle Relationen auf einer Menge M, welche zugleich eine Äquivalenz- und Ordnungsrelation sind.

Question

Bestimmen Sie alle Relationen auf einer Menge M, welche zugleich
eine Äquivalenzrelation und eine partielle Ordnung sind.

Answer 1

Äquivalenzrelation: reflexiv, symmetrisch, transitiv.

Partielle Ordnung: reflexiv, antisymmetrisch, transitiv.

Wie müssen die Äquivalenzklassen aussehen, wenn die Äquivalenzrelation antisymmetrisch ist?

Comments

Ok, verstehe, hast du da vielleicht ein Beispiel?

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Schau mal ob du mit meiner überarbeiteten Antwort besser zurecht kommst.

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Also bei der Antisymmetrie ist es ja doch so: wenn (zB eine beliebige Zahl) x in Relation mit (einer anderen beliebigen Zahl) y steht und umgekehrt, dann folgt daraus, dass x=y ist. Das bedeutet, dann müsste die Menge immer dieselben Äquivalenzklassen haben sollte, oder?

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wenn (zB eine beliebige Zahl) x in Relation mit (einer anderen beliebigen Zahl) y steht und umgekehrt, dann folgt daraus, dass x=y ist.

Genau das ist Antisymmetrie.

dann müsste die Menge immer dieselben Äquivalenzklassen haben sollte

Ich weiß nicht was du meinst.

Ich würde mich fragen: Jedes x∈M liegt in der Äquivalenzklasse [x]. Welches y≠x liegt auch noch in der Äquivalenzklasse [x]?

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Zum Beispiel ein Vielfaches von x?

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Es ist nicht sichergestellt, dass die Menge M aus Objekten besteht, von denen Vielfache gebildet werden können.

Un wenn die Menge M aus Objekten besteht, von denen Vielfache gebildet werdne können, dann ist nicht sichergestellt, dass diese Vielfache ebenfalls in M sind.

Ich konnte auch in der Definition von Äquivalenzrelation und partielle Ordnung das Wort Vielfache nicht finden.

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Sind x und y dann quasi dasselbe und niemals verschieden? Wegen der Antisymmetrie und Symmetrie gilt ja, dass dann dann x und y, wenn sie in Relation stehen (beide Richtungen), dasselbe sind

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Wegen der Antisymmetrie und Symmetrie gilt ja, dass dann dann x und y, wenn sie in Relation stehen (beide Richtungen), dasselbe sind

Richtig. Eine solche Relation hat in der Mathematik einen besonderen Namen. Sie heißt Gleichheit und wird üblicherweise mit dem Zeichen "=" abgekürzt.

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Alles klar, das wäre dann die einzige Relation hier, oder? Ich habe dann als Antwort hier stehen:

R:{(x,y) I x=y für alle x,y aus R (oder generell K)}, wobei x und y nicht vershcieden sein dürfen, weil ja dann die Antisymmetrie nicht gelten würde

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R:{(x,y) I x=y für alle x,y aus R (oder generell K)}

Wo ist das M plötzlich hin? Zur Erinnerung, die Aufgabenstellung lautet "Bestimmen Sie alle Relationen auf einer Menge M ..." Also

        R = {(x,y) ∈ M×M | ...}

für alle x,y

Das gehört da nicht hin. Beschreibende Mengendarstellung:

        A = {x ∈ B | φ(x) }

A ist die Menge aller Elemente aus B, die die Eigenschaft φ haben.

        R = {(x,y) ∈ M×M | x = y}.

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Ok, mein Fehler. Aber dein R wäre jetzt hier die richtige Lösung, oder?

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R = {(x,y) ∈ M×M | x = y} ist die richtige Lösung.

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Ok, vielen Dank. Kriegst dafür "beste Antwort"