Transformation des linearen Gleichungssystems bei IRK

Question

Aufgabe:

Ein Anfangswertproblem eines Systems aus $n$ nichtlinearen Differentialgleichungen sei gegeben. Betrachtet wird ein implizites Runge-Kutta-Verfahren (IRK) mit einer regulären vollbesetzten Matrix $A \in \mathbb{R}^{s \times s}$ gebildet aus den inneren Gewichten. Die inverse Matrix besitzt stets eine Zerlegung $A^{-1}=T \Lambda T^{-1}$ mit der Jordanschen Normalform $\Lambda$. Wir nehmen $s=3$ Stufen an und reellwertige Normalformen der Gestalt:

a) $\Lambda=\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1} & 0 & 0 \\ 0 & \lambda_{2} & 1 \\ 0 & 0 & \lambda_{2}\end{array}\right)$

b) $\Lambda=\left(\begin{array}{lll}\lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda\end{array}\right)$.

Transformieren Sie damit das lineare Gleichungssystem aus der vereinfachten NewtonIteration auf eine entsprechende günstige Struktur. Skizzieren Sie jeweils einen Algorithmus zur Lösung des transformierten linearen Gleichungssystems, bei dem möglichst wenige $L R$-Zerlegungen von Matrizen der Dimension $n$ benötigt werden. Die vorherige Transformation der rechten Seite des Gleichungssystems und die nachträgliche Transformation der Lösung pro Iterationsschritt soll nicht diskutiert werden.

Problem/Ansatz:

Hey, Hat jemand eine Idee wie ich das lösen kann?

Ich würde mich auf ihre Antworte freuen :)

Comments

wie kann ich das lineare Gleichungssystem aus der vereinfachten NewtonIteration auf eine entsprechende günstige Struktur transformieren?

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Könnte mir jemand bitte dabei helfen?
ich muss das heute abgeben..