Nullfolgen finden aber wie

Question

Aufgabe:

(i)  Finden Sie jeweils Nullfolgen \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(b_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( b_{n} \neq 0 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \), so dass gilt:

(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=0 \),
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n}}{b_{n}}=\pi \).

(ii) Finden Sie jeweils Folgen \( \left(c_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) und \( \left(d_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \operatorname{mit} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{n}=0 \) und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} d_{n}=\infty \), so dass gilt:

(a) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(c_{n} \cdot d_{n}\right)=-\infty \),
(b) \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(c_{n} \cdot d_{n}\right)=5 \).

Hinweis: Bei dieser Aufgabe genügt ausnahmsweise die Angabe der Folgen ohne Begründung.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer dabei helfen :(

Comments

Was hast du denn schon alles probiert?

Answer 1

Hallo :-)

Nutze folgenden Fakt:

Wenn die zwei Folgen \(a_n\) und \(b_n\) konvergent gegen \(a\) und \(b\neq 0\) sind (und \(b_n\neq 0\) für alle \(n\in \mathbb{N}\)) d.h. die Grenzwerte

$$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=:a,\qquad \lim\limits_{n\to \infty} b_n=:b$$

existieren, dann ist der Quotient \(\frac{a_n}{b_n}\) gegen \(\frac{a}{b}\) konvergent, d.h es exisitiert der Grenzwert

$$\lim\limits_{n\to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{a}{b}.$$

Analog gilt für Produkte:

Existieren die Grenzwerte der Folgen \(a_n\) und \(b_n\), also $$\lim\limits_{n\to \infty} a_n=:a,\qquad \lim\limits_{n\to \infty} b_n=:b, $$

dann existiert auch

$$\lim\limits_{n\to \infty} a_n\cdot b_n=a\cdot b.$$