Kann eine Funktion im Punkt x0 stetig ergänzt werden?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Entscheiden Sie, ob die jeweils definierte Funktion \( f \) im Punkt \( x_{0} \) stetig ergänzt werden kann. In anderen Worten, bestimmen Sie, ob der Grenzwert \( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} f(x) \) existiert, und falls ja, berechnen Sie ihn:
(i) \( f: \mathbb{R} \backslash\{1\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{4}-1}{(x-1)^{3}}, \quad x_{0}=1 \),
(ii) \( f:(-\infty, 1) \backslash\{-1\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}, \quad x_{0}=-1 \),
(iii) \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\frac{1}{1+\exp \left(\frac{1}{x}\right)}, \quad x_{0}=0 . \)

Problem/Ansatz:

Answer 1

Hallo

eine gebrochen rationale Funktion kann stetig ergänzt werden, wenn du die Nullstellen "kürzen" kannst, für alle x≠x0

x^4-1=(x^2-1)*(x^2+1)=(x-1)*(x+1)*(x^2+1) hier kannst du nur durch x-1 kürzen, nich durch  (x-1)^3

in 2 musst du x^2-1 wieder nach Binom zerlegen

in 3 den GW für x->0 für x<0 und x>0 bestimmen, sie snd verschieden.

(um zu sehen ob das geht kann man sich ja die Funktionen erst mal platten lassen und dann, was man sieht beweisen)

Gruß lul