Wie kann man eine Gleichung in \mathbb{Q}_p lösen?

Question

Aufgabe:

Wie kann man eine Gleichung in $$\mathbb{Q}_p$$ lösen?

Beispiel:

$$x^2-8x+23=p$$. Für welche Primzahlen p hat die Gleichung in $$\mathbb{Q}_p$$ genau eine, genau zwei, keine Lösung?

Comments

Kann es sein, dass diese Aufgabe mit quadratischen Resten modulo $p$ zusammenhängt?

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Es handelt sich um die p-adischen Zahlen.

Siehe meine Antwort. Ich hoffe, dass der/die FragestellerIn

dies nicht wie bei einer anderen Aufgabe ignoriert !

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Guten Morgen ermanus,

Vielen Dank für deine Hilfe. Ich hatte bis zu dieser Woche noch echte Probleme mit den p-adischen Zahlen. Und ja, bei meiner letzten Frage habe ich dies wohl ‚ignoriert‘, bzw wusste es schlicht und einfach nicht besser.

Durch deine Antworten ist mir das ganze Thema jetzt schon viel klarer. Danke! :)

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Dass ich zum besseren Verständnis der "Welt der p-adischen Zahlen"
beitragen konnte, freut mich. Wo geht das Ganze jetzt bei euch hin?
Als nächstes Hilbert-Symbol und dann Lokal-Global-Prinzip
gemäß Hasse-Minkowski?
Orientiert ihr euch an dem Buch "A Course in Arithmetic" von
Jean-Pierre Serre?
Die ganze Thematik ist ja nun nicht gerade trivial ...

Gruß ermanus

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Genau, wir sind jetzt mittlerweile bei Hasse-Minkowski. So viel wird dann aber auch nicht mehr kommen, in zwei Wochen ist das Semester schließlich schon vorbei.

Wir orientieren uns an einem anderen Buch, "Elementare und algebraische Zahlentheorie" von Müller-Stach/Piontkowski.

Answer 1

p= 7

x²-8x+16=0

(x-4)²= 0 , 1 Lösung

p= 11

x²-8x+12=0

(x-6)(x-2)= 0 , 2 Lösungen

Comments

Mega, so habe ich gerade auch weiter gemacht. Dann stimmt das ja. Danke!!

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Vermutlich ist das so nicht gemeint. Wo geht denn hier ein, dass nach Lösungen in $\mathbb Q_p$ gefragt ist?

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wohl wahr...jetzt bin ich aber dann leider endgültig verwirrt

Answer 2

Es handelt sich hier um Gleichungen in den Körpern

der p-adischen Zahlen (auch Henselsche Körper genannt).

Eine gute Idee war es, die Geschichte mit quadratischer

Ergänzung anzugehen:

$(x-4)^2=p-7$. Wann ist $p-7$ ein Quadrat in $Q_p$ ?

1. $p=2$:

Dann ist $p-7=-5$. In $Q_2$ ist dies kein Quadrat, da

$-5$ nicht kongruent $1$ modulo $8$ ist.

2. $p$ ungerade $\neq 7$

In diesem Falle ist $p-7$ genau dann ein Quadrat, wenn

$p-7$ quadratischer Rest modulo $p$ ist, d.h. wenn das

Legendre-Symbol $(\frac{p-7}{p})=(\frac{-7}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{7}{p})=1$ ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn $(\frac{-1}{p})=(\frac{7}{p})$ ist.

2.1. $p\equiv 1$ mod $4$: Dann muss $(\frac{7}{p})=1$ sein.

Das quadratische Reziprozitätsgesetz liefert $(\frac{p}{7})=1$, d.h.

wir müssen uns nur um die Restklassen von $p$ mod $7$ kümmern.

2.2. $p\equiv 3$ mod $4$. Dann muss $(\frac{7}{p})=-1$ sein.

Da auch $7\equiv 3$ mod $4$ gilt, bedeutet das nach dem

quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass auch hier $(\frac{p}{7})=1$ sein muss.

Nun sollte es kein Problem mehr sein, $p$ mod $7$ durchzuprobieren:

man erhält $p\equiv 1,2,4$ mod $7$.

3. $p=7$:

hat Gast2016 bereits abgehandelt.

Dies ist der einzige Fall, in dem es genau

eine Lösung gibt.

Answer 3

Löse erstmal die Gleichung durch quadratische Ergänzung, dann hast du direkt die einfach lösen und die keine,

(ich weiss nicht genau was ihr ℚ_p nennt oder ist ℤ_p gemeint?)

lul

Comments

Hey,

$$\mathbb{Q}_p$$ ist bei uns der Quotientenkörper von $$\mathbb{Z}_p$$.

Mit der quadratischen Ergänzung hatte ich auch schon überlegt, allerdings hat es mich nicht richtig weitergebracht.

Ich habe das ganze Spiel einfach mal für p=2 ausprobiert und scheinbar (Wenn ich nicht komplett daneben liege) hat die Gleichung dann genau eine Nullstelle.