Es handelt sich hier um Gleichungen in den Körpern
der p-adischen Zahlen (auch Henselsche Körper genannt).
Eine gute Idee war es, die Geschichte mit quadratischer
Ergänzung anzugehen:
\((x-4)^2=p-7\). Wann ist \(p-7\) ein Quadrat in \(Q_p\) ?
1. \(p=2\):
Dann ist \(p-7=-5\). In \(Q_2\) ist dies kein Quadrat, da
\(-5\) nicht kongruent \(1\) modulo \(8\) ist.
2. \(p\) ungerade \(\neq 7\)
In diesem Falle ist \(p-7\) genau dann ein Quadrat, wenn
\(p-7\) quadratischer Rest modulo \(p\) ist, d.h. wenn das
Legendre-Symbol \((\frac{p-7}{p})=(\frac{-7}{p})=(\frac{-1}{p})(\frac{7}{p})=1\) ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn \((\frac{-1}{p})=(\frac{7}{p})\) ist.
2.1. \(p\equiv 1\) mod \(4\): Dann muss \((\frac{7}{p})=1\) sein.
Das quadratische Reziprozitätsgesetz liefert \((\frac{p}{7})=1\), d.h.
wir müssen uns nur um die Restklassen von \(p\) mod \(7\) kümmern.
2.2. \(p\equiv 3\) mod \(4\). Dann muss \((\frac{7}{p})=-1\) sein.
Da auch \(7\equiv 3\) mod \(4\) gilt, bedeutet das nach dem
quadratischen Reziprozitätsgesetz, dass auch hier \((\frac{p}{7})=1\) sein muss.
Nun sollte es kein Problem mehr sein, \(p\) mod \(7\) durchzuprobieren:
man erhält \(p\equiv 1,2,4\) mod \(7\).
3. \(p=7\):
hat Gast2016 bereits abgehandelt.
Dies ist der einzige Fall, in dem es genau
eine Lösung gibt.
